घन की मूल अवधारणा (Basic Concept of Cubes)

Overview

इस लेख में हम रीजनिंग के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Basic Concept of Cubes, in Hindi

घन एक त्रि-आयामी ठोस वस्तु होती है, जो छह वर्गाकार फलकों या सतहों (faces) से घिरी होती है।
एक घन में 8 कोने (corner) और 12 किनारे (edge) होते हैं।
एक घन में, लंबाई = चौड़ाई = ऊँचाई (घनाभ में ये भिन्न होते हैं)

प्रत्येक घन के छह फलक होते हैं, जिनमें से एक बार में अधिकतम 3 फलक दिखाई देते हैं।
प्रत्येक फलक के चार आसन्न फलक और एक विपरीत फलक होता है। दो आसन्न फलक एक किनारे पर मिलते हैं, और एक दूसरे से सटे तीन फलक एक ही कोने पर मिलते हैं।

विभिन्न प्रकार के प्रश्न

• एक घन / घनाभ को काटना
• एक बड़ा घन/घनाभ पेंट किया जाता है और काट दिया जाता है, या इसके विपरीत
• एक ब्लॉक में घनों की गिनती

छोटे घनों की संख्या (Number of smaller cubes)

यहाँ हम सीखेंगे, कि बड़े घन या घनाभ को काटने पर छोटे घनों की संख्या कैसे ज्ञात करें|

क्या आप बता सकते हैं, कि जब हम किसी छड़ को एक बार काटते हैं तो वह कितने भागों में बँट जाती है?
जब हम किसी छड़ को एक बार काटते हैं तो वह दो बराबर भागों में बँट जाती है।

इसी प्रकार, यदि हम एक छड़ को दो बार काटते हैं, तो वह तीन बराबर भागों में विभाजित हो जाती है।
और इसी तरह आगे भी ...

अर्थार्थ, यदि कटों की संख्या = (n -1), तो उन भागों की संख्या जिनमें एक छड़ या रेखा विभाजित हो जाती है = n

एक घन को भी किसी छड़/छड़ी/रेखा की तरह काटा जा सकता है।
यदि X सेमी लंबी भुजाओं वाले घन को Y सेमी भुजाओं के बराबर छोटे घनों में काटा जाता है, तो n = X/Y
(n प्रत्येक किनारे पर छोटे घनों की संख्या है।)

यदि इन कटों को तीनों विमाओं, अर्थात् लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई के साथ-साथ किया जाए, तो हमें समान आकार के छोटे-छोटे घन प्राप्त होंगे।

ऐसे छोटे घनों की कुल संख्या = \(n^3\)

प्र. यदि एक घन का किनारा 10 सेमी है, और इसे 2 सेमी के किनारे वाले छोटे घनों में काटा जाना है, तो:

1. घन के प्रत्येक किनारे को कितनी बार काटना पड़ेगा ?
2. पूरे घन को कितनी बार काटना पड़ेगा ?
3. इस प्रकार प्राप्त छोटे घनों की संख्या कितनी होगी ?

व्याख्या:

क्या होगा अगर यह एक घनाभ (Cuboid) हो ?
क्या हम अब भी छोटे घनों की संख्या गिन सकते हैं?
जब एक घनाभ को समान आयतन के छोटे घनों में काटा जाता है, तो:

घनों की कुल संख्या = \( \frac{घनाभ \hspace{1ex} का \hspace{1ex} आयतन}{छोटे \hspace{1ex} घनों \hspace{1ex} का \hspace{1ex} आयतन} = \frac{घनाभ \hspace{1ex} की \hspace{1ex} लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई}{(छोटे \hspace{1ex} घनों \hspace{1ex} की \hspace{1ex} भुजा)^3} \)

आइए, एक उदाहरण पर विचार करें।

प्र. यदि एक घनाभ जिसकी लंबाई = 10 सेमी, चौड़ाई = 8 सेमी और ऊंचाई = 6 सेमी है, को 2 सेमी किनारे वाले छोटे घनों में काटा जाता है, तो छोटे घनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

 (a) 72  (b) 42  (c) 48  (d) 60 

व्याख्या :
1 2

Q. इस घनाभ में कितने घन हैं?

आरेख:

व्याख्या:

छोटे घनों के प्रकार (Types of smaller cubes)

एक घन को काटने के बाद, निम्नलिखित चार प्रकार के छोटे घन प्राप्त होते हैं:
(हम एक घन का उदाहरण ले रहे हैं, जिसके प्रत्येक किनारे पर 3 घन हैं, अर्थात n = 3)

कोने वाले घन (Corner cubes)

आरेख:
कोने के घनों की संख्या = 8 (हमेशा)

नोट

यदि एक घन को सभी फलकों पर रंगा जाता है, और फिर काटा जाता है, तो इन छोटे घनों में से जो कोने वाले (Corner cubes) थे, उनमें तीन फलक रंगे होंगे (क्योंकि उनके तीन फलक खुले थे)।

सामान्य परिस्थितियों में, किसी भी छोटे घन में तीन से अधिक रंगे फलक नहीं हो सकते।

प्रत्येक किनारे के बीच में घन (Cubes at the middle of each edge)

मध्य घनों की संख्या = 12 (n - 2)
या
मध्य घनों की संख्या = प्रत्येक किनारे पर मध्य घनों की संख्या × 12 (क्योंकि घन में 12 किनारे होते हैं) आरेख:
इस स्थिति में, मध्य घनों की संख्या = 12 (n - 2) = 12 (3 - 2) = 12

नोट

यदि किसी घन को सभी फलकों पर रंगा जाता है, और फिर काटा जाता है, तो इन मध्य छोटे घनों (middle smaller cubes) के दो फलक रंगे होंगे (क्योंकि उनके दो फलक खुले थे)।

प्रत्येक फलक के केंद्र वाले घन (Cubes at the centre of each face)

ऐसे घनों की संख्या = 6 \((n – 2)^2\)

या

ऐसे घनों की संख्या = प्रत्येक फलक में मध्य घनों की संख्या × 6 (क्योंकि एक घन में 6 फलक होते हैं)

इस स्थिति में, ऐसे घन = 6 \((3 - 2)^2\) = 6

नोट

यदि किसी घन को सभी फलकों पर रंगा जाता है और फिर काटा जाता है, तो इन छोटे घनों का एक फलक ही रंगा होगा (क्योंकि उनका एक ही फलक खुला हुआ था)।

भीतरी घन जो छिपे हुए हैं (Inner cubes that are hidden)

आंतरिक घनों की संख्या = \((n - 2)^3\)
हमारे उदाहरण में, ऐसे घन = \((n - 2)^3 = (3 - 2)^3\) = 1

नोट

यदि किसी घन के सभी फलकों को रंगा जाता है और फिर काटा जाता है, तो इन भीतरी छोटे घनों (inner smaller cubes) का कोई फलक रंगा नहीं मिलेगा (क्योंकि उनका कोई फलक खुला नहीं था)।

नोट

छोटे घनों की कुल संख्या = कोने के घन + किनारे के मध्य के घन + फलक के केंद्र के घन + भीतरी घन

या \(n^3 = 8 + 12 (n - 2) + 6 (n - 2)^2 + (n - 2)^3\)

हमारे उदाहरण में:

\(3^3\) = 8 + 12 + 6 + 1

या 27 = 27
इस प्रकार, हमने सभी प्रकार के छोटे घनों का हिसाब लगा लिया है।

प्र. यदि 8 सेमी किनारे वाले एक बड़े घन को समान आयतन के छोटे घनों में काटा जाता है, जिनमें से प्रत्येक का किनारा 2 सेमी है, तो:

छोटे घनों की संख्या = ?
कोने के घनों की संख्या = ?
किनारों के केंद्र के घनों की संख्या = ?
फलकों के केंद्र के घनों की संख्या = ?
आंतरिक घनों की संख्या (N) = ?

व्याख्या:

n = 8/2 = 4

छोटे घनों की संख्या = \(n^3 = 4^3\) = 64
कोने के घनों की संख्या = 8 (हमेशा)
किनारों के केंद्र के घनों की संख्या = 12 (n - 2) = 12 (4 - 2) = 24
फलकों के केंद्र के घनों की संख्या = 6 \((n - 2)^2 = 6 (4 - 2)^2\) = 24
आंतरिक घनों की संख्या = \((n - 2)^3 = (4 - 2)^3\) = 8

नोट

यदि हम जाँच करें, तो घनों की कुल संख्या = 8 + 24 + 24 + 8 = 64

प्र. 4 सेमी भुजा वाले एक घन को उसकी सभी सतहों पर नीले रंग से रंगा जाता है, और फिर 1 सेमी भुजा वाले विभिन्न छोटे घनों में विभाजित किया जाता है। ऐसे घनों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके एक, दो और तीन फलक रंगे नहीं हैं।

व्याख्या:

घन गिनना (Counting Blocks)

एक आकृति में कई घन (या घनाभ) दिखाए जाते हैं, और हमें उन्हें गिनना होता है।

आइए, कुछ उदाहरण देखें।

सभी घनों को ढूँढना (Finding all the cubes)

प्र. दी गई आकृति में घनों की संख्या गिनें।

आरेख:

(a) 3   (b) 4   (c) 5   (d) 6 

व्याख्या:

प्र. समूह में कितने घन हैं?

आरेख:

(a) 10   (b) 16   (c) 18   (d) 20 

व्याख्या:

अनदेखे घनों को ढूँढना (Finding unseen cubes)

देखे नहीं जा सकने वाले घन = कुल घन - दिखाई देने वाले घन

प्र. निचे दर्शाए गए चित्र में कितने घन अदृश्य हैं?

आरेख:

(a) 10   (b) 16   (c) 18   (d) 20 

व्याख्या: