वृत्त प्रमेय (Circle Theorems)

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वृत्त प्रमेय (Circle Theorems)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Circle Theorems, in Hindi

इस लेख में, हम वृतों से संबंधित विभिन्न गुणों और प्रमेयों पर एक नज़र डालेंगे।

यदि 'r' एक वृत्त की त्रिज्या (radius) है, तो:

वृत्त का क्षेत्रफल = π r2r^2

आरेख:
Geometry

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नोट

उस त्रिज्यखंड (sector) का क्षेत्रफल जो केंद्र पर θ कोण बनाता है = θ360°×πr2\frac{θ}{360°} × πr^2

आरेख:
Geometry

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θ डिग्री में है।

वलय (Ring) दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच का स्थान है।
Geometry

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वलय का क्षेत्रफल = बड़े वृत्त का क्षेत्रफल - छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = π R2πr2=π(R2r2)R^2 - πr^2 = π(R^2 - r^2)

वृत्त की परिधि = 2πr

नोट

उस चाप (arc) की लंबाई जो केंद्र पर θ कोण बनाती है = θ360°\frac{θ}{360°} × 2πr


Geometry

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θ डिग्री में है।

वलय दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच का स्थान है।
Geometry

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वलय का परिमाप = बड़े वृत्त का परिमाप + छोटे वृत्त का परिमाप = 2πR + 2πr = 2π (R + r)

एक और केवल एक वृत्त दिए गए किन्हीं तीन असंरेख (non-collinear) बिंदुओं से होकर गुजरता है।

एक वृत्त की समान जीवाएँ (chords) केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं।
Geometry

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ऊपर दी गई आकृति में जीवाएँ AB और CD बराबर हैं, अर्थात AB = CD
अत:, ∠AOB = ∠COD

नोट

दूसरे शब्दों में, यदि किसी वृत्त की दो जीवाओं द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण बराबर हों, तो वे दो जीवाएँ समान होनी चाहियें।

यदि किसी वृत्त की दो जीवाएँ समान हों, तो उनके संगत चाप (arcs) भी बराबर (अर्थात् सर्वांगसम, congruent) होते हैं। इसके विपरीत, यदि दो चाप बराबर (अर्थात सर्वांगसम) हों, तो उनकी संगत जीवाएँ समान होती हैं।

अतः संक्षेप में कहें तो, वृत्त के समान चाप या समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं।

एक वृत्त (या सर्वांगसम वृत्तों की) की समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
Geometry

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ऊपर दी गई आकृति में जीवाएँ AB और CD बराबर हैं, अर्थात AB = CD
तो, OM = ON

नोट

दूसरे शब्दों में, वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाओं की लंबाई बराबर होती है।

एक वृत्त के केंद्र से एक जीवा पर लम्ब उस जीवा को समद्विभाजित करता है।
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नोट

दूसरे शब्दों में, एक वृत्त के केंद्र से एक जीवा को समद्विभाजित करने के लिए खींची गई रेखा उस जीवा पर लंबवत (perpendicular) होती है।

वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा (tangent), उनके संपर्क बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंबवत होती है।
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किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
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उपरोक्त आकृति में, PR = PQ

एक बाहरी बिंदु पर दो स्पर्शरेखाओं के मिलने से बनने वाले कोण को, वृत्त के केंद्र को उस बाहरी बिंदु से मिलाने वाली एक सीधी रेखा द्वारा द्विभाजित किया जाता है।
Geometry

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उपरोक्त आकृति में, PO ∠QPR को समद्विभाजित करती है, अर्थात ∠QPO = ∠RPO
साथ ही, चूंकि त्रिभुज ∆PQO और ∆PRO के दो कोण बराबर हैं, इसलिए उनके तीसरे कोण भी बराबर होने चाहियें, अर्थात ∠POQ = POR

एक बाहरी बिंदु से आ रही दो स्पर्शरेखाओं (एक वृत्त की) के संपर्क बिंदुओं को मिलाने से बनी जीवा (chord), वृत्त के केंद्र को उस बाहरी बिंदु से जोड़ने वाली एक सीधी रेखा द्वारा लंबवत रूप से द्विभाजित (bisected perpendicularly) होती है।
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उपरोक्त आकृति में, QR बिंदु P से आ रही दो स्पर्शरेखाओं के संपर्क बिंदुओं को मिलाने से बनने वाली जीवा है।
तो, जीवा QR को PO द्वारा लंबवत रूप से विभाजित किया जाता है, यानी QM = RM, और PO ⟂ QR.

एक चाप (या एक जीवा) द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण, वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा बनाए गए कोण का दोगुना होता है।
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उपरोक्त आकृति में, ∠AOB = 2 ∠AMB

नोट

जाहिर है, वृत्त के एक ही खंड (segment) में एक जीवा/चाप द्वारा अंतरित कोण बराबर होंगे।
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किसी जीवा (chord), और उस जीवा के किसी एक अंतिम बिंदु से गुजरने वाली स्पर्श रेखा के बीच का कोण = जीवा द्वारा एकांतर खंड (alternate segment) पर बनने वाला कोण
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उपरोक्त आकृति में, AB एक जीवा है और स्पर्श रेखा PQ उस जीवा के किसी एक अंतिम बिंदु से होकर गुजरती है।
अत: ∠ABP = ∠AMB

इसी प्रकार, जीवा BM के मामले में, ∠MBQ = ∠MAB

यदि एक वृत्त की दो जीवाएँ (जैसे AB और CD) उस वृत्त के अंदर या उस वृत्त के बाहर (जब वे बाहर की ओर बढ़ाई जाती हैं), किसी बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो:
MB × MA = MD × MC.
Geometry

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नोट

इस प्रमेय का एक विशेष मामला तब उत्पन्न होता है, जब कोई एक रेखा जीवा (chord) के बजाय एक स्पर्शरेखा (tangent) होती है।

जब एक जीवा AB को बाहरी बिंदु M पर स्पर्शरेखा TM से मिलने के लिए बढ़ाया जाता है, तो:
MB × MA = MT2MT^2


Geometry

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यदि d - दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी; r1r_1 और r2r_2 - दो वृतों की त्रिज्या

प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = d2(r1r2)2\sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}

आरेख:
Geometry

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प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = 2 r1r2\sqrt{r_1 r_2}

आरेख:
Geometry

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प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = d2(r1r2)2\sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}

आरेख:
Geometry

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हम अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई केवल तभी ज्ञात कर सकते हैं, जब दो वृत्त एक दूसरे को स्पर्श नहीं कर रहे हों।

अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = d2(r1+r2)2\sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}

आरेख:
Geometry

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