घड़ियों की मूल अवधारणाएं (Basics of Clocks)

Overview

इस लेख में हम रीजनिंग के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Basics of Clocks, in Hindi

नोट

घड़ी से सम्बंधित एक और लेख आप यहाँ पढ़ सकते हैं :

• दोषपूर्ण घड़ियों की अवधारणा

घड़ी की परिभाषा (Ghadi kya hoti hai ?)

घड़ी एक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण है, जिसका उपयोग समय को इंगित करने के लिए किया जाता है। यह घंटे, मिनट और सेकंड में समय को दिखाती है।

घड़ी के हाथ (Hands of Clock)

एक घड़ी में तीन हाथ होते हैं:

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• घंटे की सुई - घड़ी को परिधि के अनुदिश 12 समान स्थानों में विभाजित किया जाता है, जो 12 घंटे को दर्शाता है।
• मिनट की सुई - घड़ी को परिधि के अनुदिश 60 समान स्थानों में विभाजित किया जाता है, जो 60 मिनट को दर्शाता है।
• सेकंड की सुई

नोट

एक घंटा = 60 मिनट = 60 × 60 सेकंड = 3600 सेकंड

विभिन्न प्रकार के प्रश्न

• किसी विशेष समय पर घड़ी की दोनों सूइयों द्वारा बनाया गया कोण ज्ञात कीजिए।

• उस समय का पता लगाएं जिस पर दो हाथ एक दूसरे के साथ एक विशेष कोण बनाते हैं।

• खराब घड़ियों पर सवाल

किसी विशेष समय पर घड़ी की सूइयों द्वारा बनाया गया कोण (Finding Angle at a particular time)

यहाँ हम अध्ययन करेंगे कि कैसे एक विशेष समय पर घड़ी के दोनों हाथों द्वारा बनाए गए कोण का पता लगाएं।

तो, समय दिया जाएगा और हमें कोण का पता लगाना होगा।

ऐसा करने के लिए हमें कोणीय दूरी और गति की अवधारणाओं (Concepts of Angular Distance and Speed) पर अच्छी पकड़ होनी चाहिए।

कोणीय दूरी और कोणीय गति की अवधारणा (Concept of Angular Distance and Angular Speed)

एक पूर्ण वृत्त = $360^o$
एक सेक्टर = $30^o$

आरेख:

clock

घड़ियों के मामले में, हम अक्सर दूरी को डिग्री और गति को डिग्री/मिनट में मापते हैं।

मिनट की सुई की कोणीय गति कितनी होती है? (Angular speed of the minute hand)

मिनट की सुई एक घंटे में एक पूरा चक्कर लगाती है, या यह 60 मिनट में 360 डिग्री का चक्कर लगाती है।

इसलिए, मिनट की सुई की गति = $360^o$ प्रति 60 मिनट = $60^o$ प्रति मिनट

घंटे की सूई की कोणीय गति क्या है? (Angular speed of the hour hand)

घंटे की सुई 12 घंटे में $360^o$ की यात्रा करती है।

तो, घंटे की सुई की गति = $360^o$ प्रति 12 घंटे = $30^o$ प्रति 1 घंटे या प्रति 60 मिनट = $0.5^o$ प्रति मिनट

सेकंड की सूई की कोणीय गति क्या है? (Angular speed of the second hand)

यह एक मिनट में $360^o$ की यात्रा करती है।
तो, सेकंड की सूई की गति = $360^o$ प्रति मिनट

प्र. घंटे की सूई 15 मिनट में कितनी कोणीय दूरी तय करती है?

(a) $7.5^o$
(b) $8^o$
(c) $6.5^o$
(d) $8.5^o$

व्याख्या:

कोण ढूँढना (Finding Angle)

कुछ प्रकार के प्रश्नों में, उम्मीदवार को किसी विशेष समय पर घंटे की सुई और मिनट की सुई के बीच के कोण का पता लगाना होता है।

ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए हम अनेक विधियों का प्रयोग कर सकते हैं। आइए कुछ उदाहरणों की मदद से इन्हें सीखें। आपको अपनी पसंद की विधि चुननी चाहिए, और फिर उस पर महारत हासिल करनी चाहिए।

प्र. शाम 6:30 बजे, घंटे और मिनट के हाथों के बीच क्या कोण होता है?

(a) $30^o$
(b) $15^o$
(c) $10^o$
(d) $12^o$

व्याख्या :
1 2 3 4

समय का पता लगाना, अगर घडी की सुईओं के बीच का कोण दिया गया है (Finding Time if angle between clock hands is given)

यहाँ हम अध्ययन करेंगे कि कैसे उस समय का पता लगाएं जिस पर दो हाथ एक दूसरे के साथ एक विशेष कोण बनाते हैं।

तो, कोण दिया जाएगा और हमें समय निकालना होगा।

ऐसा करने के लिए हमें सापेक्ष गति की अवधारणा (Concept of Relative Speed) पर अच्छी पकड़ होनी चाहिए।

नोट

सापेक्ष गति की अवधारणा घड़ियों के अध्याय का आधार है।

सापेक्ष गति की अवधारणा (Concept of Relative Speed)

सीधी रेखा में गति (Motion in Straight line)

नीचे दी गई आकृति में, दो धावक, मिस्टर रेड और मिस्टर ब्लू, एक ही प्रारंभिक बिंदु से अंत बिंदु की ओर समान दिशा में क्रमशः 3 किमी/घंटा और 6 किमी/घंटा की गति से दौड़ना शुरू करते हैं।

clocks

हम देख सकते हैं कि प्रत्येक घंटे में तेज धावक धीमे धावक द्वारा तय की गई दूरी से 3 किमी अधिक दूरी तय करता है। इसलिए, हर घंटे धीमे धावक और तेज धावक के बीच की दूरी 3 किमी बढ़ जाती है।

तो, धावकों के बीच का अंतर है:

• एक घंटे में 3 किमी
  

  clocks

• दो घंटे में 6 किमी
  

  clocks

• तीन घंटे में 9 किमी, इत्यादि।

ध्यान दें, कि धावकों के बीच का अंतर उनकी निरपेक्ष गति पर नहीं बल्कि उनकी गति के बीच के अंतर पर निर्भर करता है। यदि धावकों की गति 5 किमी/घंटा और 2 किमी/घंटा होती, तब भी अंतर प्रति घंटे 3 किमी बढ़ रहा होता।

इस प्रकार, सापेक्ष गति और कुछ नहीं बल्कि दो चीज़ों या लोगों के बीच प्रति इकाई समय में घटती/बढ़ती हुई दूरी है, जो उनकी गति में अंतर के बराबर ही होती है, अर्थात 6 - 3 = 3 किमी / घंटा।

नोट

अत: एक ही दिशा में गति करने वाले दो धावकों A और B की सापेक्ष गति = A की गति - B की गति

इसी प्रकार, विपरीत दिशाओं में गति करने वाले दो धावकों A और B की सापेक्ष गति = A की गति + B की गति

सापेक्ष गति सूत्र (Relative Speed Formula)

मूल TSD सूत्र है:
दूरी = गति × समय

इसी प्रकार, सापेक्ष गति सूत्र है:
सापेक्ष दूरी = सापेक्ष गति × समय

वृत्तीय गति (Circular Motion)

वृत्ताकार पथ पर गति सीधी रेखा में गति के समान होती है। हम यहाँ भी सापेक्ष गति के समान सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। हम समय, गति और दूरी के अध्याय में वृत्तीय गति का अधिक विस्तार से अध्ययन करेंगे। यहां हम केवल उस भाग पर ध्यान केंद्रित करेंगे, जिसको हमें घड़ियों पर आधारित प्रश्नों को हल करने के लिए जानना आवश्यक है।

मान लीजिए कि हमारे दो धावक, मिस्टर रेड और मिस्टर ब्लू, एक वृत्ताकार ट्रैक पर एक ही दिशा में और एक ही बिंदु से क्रमशः 3 मीटर/सेकंड और 6 मीटर/सेकंड की गति से दौड़ना शुरू करते हैं।

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जिस क्षण मिस्टर ब्लू और मिस्टर रेड शुरुआती बिंदु से शुरू होते हैं, मिस्टर ब्लू मिस्टर रेड से आगे निकलने लगते हैं। मिस्टर ब्लू हर सेकेंड में मिस्टर रेड और उनके बीच की दूरी को 3 मीटर बढ़ा देते हैं।

इसलिए, मिस्टर ब्लू और मिस्टर रेड के बीच का अंतर 1 सेकंड के बाद 3 मीटर, 2 सेकंड के बाद 6 मीटर, 3 सेकंड के बाद 9 मीटर, इत्यादि हो जाता है। (ठीक उसी तरह, जब वे एक सीधी रेखा में दौड़ रहे थे)

आप यह समझ सकते हैं, कि घड़ी की दोनों सुइयां और कुछ नहीं बल्कि दो धावक हैं जो एक ही दिशा में एक वृत्ताकार ट्रैक के चारों ओर दौड़ रहे हैं।

• दोनों हाथ एक ही दिशा में चलते हैं यानी (घड़ी की दिशा में)।
• मिनट की सुई 1 घंटे में एक बार घड़ी की पूरी परिधि का चक्कर लगाती है। जबकि, घंटे की सुई 12 घंटे में एक बार घड़ी की पूरी परिधि के चारों ओर घूमती है। इस प्रकार, मिनट की सुई, घंटे की सुई से बारह गुना तेज होती है।

कोणीय शब्दों में बात करें तो:

मिनट की सुई की गति = $6^o$ प्रति मिनट

और, घंटे की सुई की गति = $0.5^o$ प्रति मिनट।

इसलिए, घंटे की सुई के सापेक्ष, मिनट की सुई की सापेक्ष गति = $6^o - 0.5^o = 5.5^o$ प्रति मिनट।

मिनट शब्दों में बात करें तो:

घड़ी में दो क्रमागत संख्याओं के बीच की दूरी 5 मिनट के बराबर होती है।

घंटे की सुई एक घंटे में 5 मिनट के अंतराल को पार करती है जबकि मिनट की सुई 60 मिनट के अंतराल को पार करती है।

तो, 60 मिनट में, मिनट की सुई (60 - 5) = 55 मिनट, घंटे की सुई से आगे बढ़ जाती है।

अतः, 1 मिनट में, मिनट की सुई 55/60 = 11/12 मिनट प्राप्त करती (gains) है

नोट

अधिकतर, हम सापेक्ष गति का उपयोग कोणीय शब्दों में करते हैं। आपको बस यह याद रखने की आवश्यकता है कि घंटे की सुई के सापेक्ष मिनट की सुई की सापेक्ष गति $5.5^o$ प्रति मिनट है| अर्थात यदि दोनों हाथ एक ही बिंदु से शुरू होते हैं, तो मिनट की सुई प्रति मिनट $5.5^o$ अधिक दूरी तय करेगी।

प्र. 12 बजे घड़ी की दोनों सुइयां साथ में होती हैं। 12 बजकर 10 मिनट पर घड़ी के घंटे और मिनट की सूइयों के बीच की दूरी क्या होगी?

व्याख्या:

समय ढूँढना (Finding Time)

कुछ प्रकार के प्रश्नों में हमें उस समय का पता लगाने के लिए कहा जाता है जब घड़ी की सूइयाँ:
* एक दूसरे के ऊपर होती हैं (यानी उनके बीच $0^o$ कोण होता है)।
* एक दूसरे के विपरीत होती हैं (अर्थात उनके बीच $180^o$ कोण होता है), या
* उनके बीच कोई दूसरा कोण होता है।

यहां भी कई विधियां हैं जिनका आप उपयोग कर सकते हैं। आइए कुछ उदाहरणों के माध्यम से इन्हें समझते हैं।

प्र. दोपहर 3:00 बजे से 4:00 बजे के बीच, मिनट की सुई और घंटे की सूई किस समय साथ में होंगी?

(a) 3 बजकर 16 $\frac{4}{11}$ मिनट
(b) 3 बजकर 15 $\frac{4}{11}$ मिनट
(c) 3 बजकर 16 $\frac{2}{7}$ मिनट
(d) 3 बजकर 15 $\frac{3}{5}$ मिनट

व्याख्या :
1 2

व्याख्या 2: सूत्र विधि का उपयोग करके

x और (x + 1) बजे के बीच, दोनों हाथ t मिनट के अंतराल पर होंगे जब x बजकर (5x ± t)$\frac{12}{11}$ मिनट बजे होंगे।

यहाँ x = 3 और t = 0 (क्योंकि दोनों हाथ एक दुसरे के ऊपर हैं)

इसलिए, अभीष्ट समय = 5x × $\frac{12}{11} = 5 × 3 × \frac{12}{11} = \frac{180}{11}$ = 3 बजकर 16 $\frac{4}{11}$ मिनट

उत्तर: (a)

नोट

यदि t शून्य नहीं है तो:
यदि t = 30 मिनट, अर्थात यदि हाथ एक-दूसरे के विपरीत हों: (+) चिह्न का प्रयोग करें, जब x <6 और (-) चिह्न, जब x > 6
यदि t 0 या 30 मिनट नहीं है: यदि मिनट की सुई आगे है, तो '+' चिह्न का उपयोग किया जाता है और यदि घंटे की सुई आगे है, तो '-' चिह्न का उपयोग किया जाता है।)

लेकिन यहाँ t = 0 है, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

घड़ियों के कुछ और गुण (Some more properties of clocks)

1. हर घंटे में दोनों हाथ एक ही सीधी रेखा में दो बार होते हैं:

• जब दोनों हाथ संपाती हों (अर्थात एक ही दिशा में), यानी दोनों हाथों के बीच का कोण = 0°
  यहाँ दोनों हाथ 0 मिनट अलग हैं।
  
  अत: प्रत्येक 12 घंटे में दोनों हाथों का मेल 11 बार होता है।
  (11 से 1 बजे के बीच, वे एक बार ही संपाती होते हैं, यानि 12 बजे)।
  
  और 24 घंटे में दोनों हाथ 22 बार मेल खाते हैं।

• जब दोनों हाथ एक दूसरे के विपरीत हों, अर्थात दोनों हाथों के बीच का कोण = 180°
  यहाँ दोनों हाथों के बीच 30 मिनट का अंतर है।
  
  प्रत्येक 12 घंटे में दोनों हाथ 11 बार विपरीत दिशा में होते हैं।
  (5 से 7 बजे के बीच, वे एक बार ही विपरीत दिशा में होते हैं, यानि 6 बजे)।
  
  24 घंटे में दोनों हाथ 22 बार विपरीत दिशा में होते हैं।
  

2. अत: प्रत्येक 12 घंटे में दोनों हाथ 22 बार एक ही सीधी रेखा में होते हैं।
   24 घंटे में दोनों हाथ 44 बार एक ही सीधी रेखा में होते हैं।

3. हर घंटे में दोनों हाथ दो बार समकोण पर होते हैं, यानी दोनों हाथों के बीच का कोण = 90°
   दूसरे शब्दों में, दोनों हाथ 15 मिनट की दूरी पर होते हैं।
   
   प्रत्येक 12 घंटे में दोनों हाथ 22 बार समकोण पर होते हैं।
   (2 से 4 बजे के बीच दोनों हाथ एक बार ही समकोण बनाते हैं, यानि 3 बजे| इसी प्रकार, 8 से 10 बजे के बीच दोनों हाथ एक बार ही समकोण बनाते हैं, यानि 9 बजे)।
   
   अत: 24 घंटे में दोनों हाथ 44 बार समकोण बनाते हैं।
   

घडी के हाथों के दो बार मिलने की अवधारणा (Concept of Successive Meets)

आइए, हम फिर से दो धावकों के अपने उदाहरण पर विचार करें।

मान लीजिए कि हमारे दो धावक, मिस्टर रेड और मिस्टर ब्लू, एक ही दिशा में और एक ही बिंदु से क्रमशः 3 मीटर/सेकेंड और 6 मीटर/सेकेंड की गति से एक गोलाकार ट्रैक पर दौड़ना शुरू करते हैं।

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जिस क्षण मिस्टर ब्लू और मिस्टर रेड शुरुआती बिंदु से शुरू होते हैं, मिस्टर ब्लू मिस्टर रेड से आगे निकलने लगते हैं। अगर वे दौड़ते रहे तो एक समय आएगा जब मिस्टर ब्लू मिस्टर रेड को फिर से पछाड़ देगा। मिस्टर ब्लू द्वारा तय की गई अतिरिक्त दूरी वृत्त की परिधि के बराबर होगी।

नोट

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उनकी वास्तविक निरपेक्ष गति क्या है। केवल एक चीज जो हमें जानने की जरूरत है वह है उनकी सापेक्ष गति।

इसी तरह, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उन्होंने कितनी वास्तविक दूरी तय की। केवल एक चीज जो हमें जानने की जरूरत है, वह है तय की गई दूरियों में अंतर।

यदि वृत्त की परिधि 600 मीटर है, तो मिस्टर ब्लू द्वारा मिस्टर रेड को फिर से पकड़ने में लिया गया समय = $\frac{वृत्त \hspace{1ex} की \hspace{1ex} परिधि}{सापेक्ष \hspace{1ex} गति}$
= $\frac{600}{(6 - 3)} = \frac{600}{3}$ = 200 s

नोट

इस अवधारणा को घड़ी के मिनट और घंटे के हाथों पर भी लागू किया जा सकता है। घड़ी के मामले में:

• तेज धावक मिनट की सुई है और धीमा धावक घंटे की सुई है।
• घंटे और मिनट की सुई की सापेक्ष गति = 5.5° प्रति मिनट
• कोणीय शब्दों में वृत्त की परिधि = 360°

आइए, एक उदाहरण देखें।

प्र. मिनट की सूई और घंटे की सूई की दो क्रमिक मुलाकातों के बीच का समय अंतराल क्या होता है?

(a) 64 $\frac{5}{11}$ मिनट
(b) 65 $\frac{5}{11}$ मिनट
(c) 66 $\frac{3}{11}$ मिनट
(d) 65 $\frac{4}{9}$ मिनट

व्याख्या :
1 2 3

व्याख्या 2: सूत्र विधि

x और (x + 1) बजे के बीच, दोनों हाथ t मिनट के अंतराल पर होंगे x बजकर (5x ± t) $\frac{12}{11}$ x बजे।

दोपहर 12 बजे दोनों हाथ एक साथ होते हैं। वे फिर से 1 और 2 के बीच कहीं संपाती होंगे। इसलिए, x = 1

हाथों के संपाती होने के लिए, t = 0.

आवश्यक समय = 5x × $\frac{12}{11} = \frac{60}{11} = 5 \frac{5}{11}$ मिनट

इसलिए, दोनों हाथों द्वारा मिलने में लिया गया कुल समय = 60 + 5 $\frac{5}{11} = 65 \frac{5}{11}$ मिनट

नोट

यदि t शून्य नहीं है तो:
यदि t = 30 मिनट, अर्थात यदि हाथ एक-दूसरे के विपरीत हों: (+) चिह्न का प्रयोग करें, जब x <6 और (-) चिह्न का प्रयोग करें, जब x > 6
यदि t 0 या 30 मिनट नहीं है: यदि मिनट की सुई आगे है, तो '+' चिह्न का उपयोग किया जाता है और यदि घंटे की सुई आगे है, तो '-' चिह्न का उपयोग किया जाता है।)

लेकिन यहाँ t = 0 है, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

उत्तर: (b)

नोट

यदि किसी सही घड़ी की दोनों सुइयां, एक ही स्थान से एक साथ घूमना शुरू करती हैं, तो प्रत्येक 65 $\frac{5}{11}$ मिनट के बाद दोनों हाथ फिर से एक साथ आएंगे।

खराब घड़ियों के मामले में यह समय अलग-अलग होगा।