ऊंचाई और दूरी (Height and Distance in Maths)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Height and Distance, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• त्रिकोणमिति क्या है?
• त्रिकोणमितीय सूत्रों की सूची
• ऊंचाई और दूरी

ऊँचाई और दूरी एक ऐसा अध्याय है जिसमें हम विभिन्न वस्तुओं की ऊँचाई और दूरी ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमिति की अवधारणाओं का उपयोग करते हैं।

इसी प्रकार से, माउंट एवरेस्ट की ऊंचाई और पृथ्वी से ग्रहों और सितारों की दूरी की गणना की गई है। तो, आप कह सकते हैं कि यह त्रिकोणमिति (Trigonometry) का अनुप्रयोग (application) भाग है।

ऊंचाई और दूरी से संबंधित अवधारणाएं (Concepts related to Height and Distance)

नीचे दिए गए आरेख पर विचार करें:

यहाँ E एक प्रेक्षक (observer) की आँख को निरूपित कर रहा है और EX, E से खींची गई क्षैतिज (horizontal) रेखा है।

दृष्टि रेखा (Line of sight)

आँख को किसी वस्तु से मिलाने वाली रेखा को दृष्टि रेखा कहते हैं।

अतः, EO और EO' दृष्टि रेखा हैं, जो प्रेक्षक की आँख को क्रमशः ऊपर (O) और नीचे (O') रखी वस्तुओं से जोड़ती हैं।

उन्नयन कोण (Angle of elevation)

यदि कोई वस्तु आँख से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा के ऊपर है, तो प्रेक्षक को वस्तु को देखने के लिए ऊपर की ओर देखना होगा। उदाहरण के लिए, उपरोक्त आकृति में वस्तु O।

ऐसी स्थिति में, आंख (EX) से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा के साथ दृष्टि रेखा (EO) जो कोण बनाती है, उसे उन्नयन कोण कहा जाता है (जैसा कि E से देखा गया है)।

अतः, उपरोक्त आकृति में, ∠XEO उन्नयन कोण है।

अवनमन कोण (Angle of depression)

यदि कोई वस्तु आँख से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा के नीचे है, तो प्रेक्षक को वस्तु को देखने के लिए नीचे की ओर देखना होगा। उदाहरण के लिए, उपरोक्त आकृति में वस्तु O'।

ऐसी स्थिति में, दृष्टि रेखा (EO'), आंख से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा (EX) के साथ जो कोण बनाती है, उसे अवनमन कोण कहा जाता है (जैसा कि E से देखा गया है)।

अतः, उपरोक्त आकृति में, ∠XEO' अवनमन कोण है।

ऊंचाई और दूरी से संबंधित महत्वपूर्ण मामले (Important Cases related to Height & Distance)

आइए अब कुछ महत्वपूर्ण मामलों/परिदृश्यों पर एक नजर डालते हैं जिनका सामना हम अक्सर एप्टीटुड परीक्षाओं में करते हैं।

यदि हम उनसे पहले से परिचित हैं, तो इससे हमें परीक्षा हॉल में कुछ गणना और समय की बचत होगी।

केस 1: 30°, 60°, 90°

एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसके कोण 30°, 60° और 90° हैं, इन कोणों के संगत (विपरीत) भुजाओं की लंबाई का अनुपात 1 : \(\sqrt{3}\) : 2 होगा।

आरेख:

केस 2: 45°, 45°, 90°

एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें कोण 45°, 45° और 90° हैं, इन कोणों के संगत (विपरीत) भुजाओं की लंबाई का अनुपात 1:1: \(\sqrt{2}\) होगा।

आरेख:

केस 3

जब दो समकोण त्रिभुज ABC और ABD का आधार (base) समान हो, और उभयनिष्ठ 90° के अलावा, अन्य दो कोण निम्नलिखित होते हैं:

• 30°, 60° त्रिभुज ABC में
• 45°, 45° त्रिभुज ABD में

फिर AB : BD : AD : BC : AC = 1 : 1 : \(\sqrt{2} : \sqrt{3}\) : 2

आरेख:

हम देख सकते हैं कि, BC : BD : DC = \(\sqrt{3} : 1 : \sqrt{3} - 1\)

केस 4

जब दो समकोण त्रिभुज ABC और ABD का आधार समान हो, और उभयनिष्ठ 90° के अलावा, अन्य दो कोण निम्नलिखित होते हैं:

• 45°, 45° त्रिभुज ABC में
• 30°, 60° त्रिभुज ABD में

फिर AB : BD : AD : BC : AC = \(\sqrt{3} : 1 : 2 : \sqrt{3} : \sqrt{6}\)

आरेख:

हम देख सकते हैं कि, BC : BD : DC = \(\sqrt{3} : 1 : \sqrt{3} - 1\)

केस 5

जब दो समकोण त्रिभुज ABC और ABD का आधार समान हो, और उभयनिष्ठ 90° के अलावा, अन्य दो कोण निम्नलिखित होते हैं:

• 60°, 30° त्रिभुज ABC में
• 30°, 60° त्रिभुज ABD में

तब AB : BD : AD : BC : AC = \(\sqrt{3} : 1 : 2 : 3 : 2\sqrt{3}\)

आरेख:
हम देख सकते हैं कि, BC : BD : DC = 3: 1: 2

केस 6

जब दो समकोण त्रिभुज ABC और ABD का आधार समान हो, और उभयनिष्ठ 90° के अलावा, अन्य दो कोण निम्नलिखित होते हैं:

• 75°, 15° त्रिभुज ABC में
• 60°, 30° त्रिभुज ABD में

तब AB : BD : AD : BC = 1 : \(\sqrt{3} : 2 :\sqrt{3} + 2\)

आरेख:

हम देख सकते हैं कि, BC : BD : DC = \(\sqrt{3} + 2 : \sqrt{3}\) : 2

केस 7

एक ऐसे व्यक्ति के बारे में विचार करें जो एक पहाड़ की तली पर खड़ा है, और ऊपर जाने वाला है।

आरेख:

• उस व्यक्ति की आँखों का पर्वत के शिखर से उन्नयन कोण 45° होता है, जब वह उस पर्वत के तल पर होता है।
• 30° के ढलान पर पहाड़ की ओर 'd' दूरी पर चढ़ने के बाद, शिखर से उन्नयन कोण 60° हो जाता है।

फिर, पहाड़ की ऊँचाई, h = \(\frac{d}{2} (\sqrt{3} + 1)\)

केस 8

एक सीधे खड़े (ऊर्ध्वाधर, vertical) खम्बे AB, और जमीन पर दो बिंदुओं C और D पर विचार करें। दो परिदृश्य संभव हैं, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

आरेख:

• खम्बे के तल से बिंदु C की दूरी, BC = c. और, बिंदु C से खम्बे के शीर्ष का उन्नयन कोण (angle of elevation) θ° है।
• खम्बे के तल से बिंदु D की दूरी, BD = d. और, बिंदु D से खम्बे के शीर्ष का उन्नयन कोण (angle of elevation) Φ° है।

यदि θ और Φ एक दूसरे के संपूरक (complementary) हैं, अर्थात θ + Φ = 90°, तो:
खम्बे की ऊंचाई, h = \(\sqrt{cd}\)

केस 9

दो सीधे खड़े (ऊर्ध्वाधर, vertical) खम्बों AB और CD पर विचार करें| दोनों एक ही जमीन पर खड़े हैं।

• खम्बे AB की ऊंचाई \(h_1\) है, और खम्बे CD की ऊंचाई \(h_2\) है।

• दोनों खम्बों के बीच की दूरी x इकाई है।
• खम्बे CD के नीचे से खम्बे AB के शीर्ष का उन्नयन कोण θ° है।
• खम्बे AB के नीचे से खम्बे CD के शीर्ष का उन्नयन कोण Φ° है।

यदि θ और Φ एक दूसरे के संपूरक (complementary) हैं, अर्थात θ + Φ = 90°, तो:
दो खम्बों के बीच की दूरी, x = \(\sqrt{h_1 × h_2}\)

केस 10

किसी प्रेक्षक (observer) के ऊपर लटके हुए, त्रिज्या (radius) r के एक गोलाकार गुब्बारे पर विचार करें।

• गुब्बारा प्रेक्षक की आँख पर α का कोण अंतरित करता है।
• गुब्बारे के केंद्र का उन्नयन कोण (प्रेक्षक की आँख से) β है।

फिर, जमीन से गुब्बारे के केंद्र की ऊंचाई (यानी CD), h = r sin β × cosec \(\frac{α}{2}\)