डिफरेंशियल कैलकुलस के नियम (Differential Calculus Rules)
Overview
इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Differential Calculus Rules, in Hindi
नोटइस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:
हम पहले ही समझ चुके हैं कि हम कुछ सरल फलनों के derivatives (अवकलजों) की गणना कैसे करते हैं। हालाँकि, परीक्षा में जिन अधिकांश प्रश्नों का हम सामना करेंगे, उनमें शायद चीजें इतनी सरल नहीं होंगी।
कई बार हमें जटिल फलनों के derivatives (अवकलजों) की गणना करनी पड़ती है, जो विभिन्न तरीकों से सरल फलनों को मिलाकर बनाए जाते हैं।
उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि:
\(\frac{d}{dx} sin x = cos x\)
\(\frac{d}{dx} cos x = - sin x\)
हालांकि, \(\frac{d}{dx} sin x \hspace{1ex} cos x ≠ cos x (- sin x)\)
ऐसे जटिल व्यंजकों के derivatives ज्ञात करने के लिए हमें Differential Calculus (अवकलन) के कुछ नियमों का पालन करना होगा। आइए, जानते हैं ऐसे ही कुछ नियमों के बारे में।
डिफरेंशियल कैलकुलस के नियम (Rules of Differential Calculus)
हम फलन f(x) और g(x) को f और g के रूप में निरूपित करेंगे। और उनके derivative f'(x) और g'(x) को f' और g' के रूप में।
अचर से गुणा का नियम (Multiplication by constant Rule)
\(\frac{d}{dx} c f = c f'\)
प्र. \(\frac{d}{dx} 5x^2\) क्या होगा
व्याख्या:
\(\frac{d}{dx} 5x^2 = 5 \frac{d}{dx} x^2\) = 5 (2x) = 10x
योग और अंतर नियम (Sum and Difference Rule)
\(\frac{d}{dx} [f + g] = f' + g'\)
\(\frac{d}{dx} [f - g] = f' - g'\)
प्र. \(\frac{d}{dx} (x^2 + sin x)\) क्या होगा
व्याख्या:
\(\frac{d}{dx} (x^2 + sin x) = \frac{d}{dx} x^2 + \frac{d}{dx} sin x\) = 2x + cos x
गुणा और विभाजन नियम (Product and Division Rule)
\(\frac{d}{dx} [f . g] = f' . g + f . g'\)
\(\frac{d}{dx} [f / g] = \frac{f' . g - f . g'}{g^2}\)
विशेष मामला:\(\frac{d}{dx} [1 / f] = \frac{- f'}{f^2}\)
प्र. \(\frac{d}{dx} x sin x\) क्या होगा
व्याख्या:
\(\frac{d}{dx} x sin x = x \frac{d}{dx} sin x + sin x \frac{d}{dx} x\) = x cos x + sin x
फलनों की संरचना सम्बंधित नियम (Composition of Functions Rule)
\(\frac{d}{dx} fºg = (f'ºg) . g'\)
या \(\frac{d}{dx} f(g) = f'(g) . g'\)
नोटउपरोक्त को हम निम्न प्रकार से भी निरूपित कर सकते हैं।
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx}\)
प्र. \(\frac{d}{dx} sin x^3\) क्या होगा
व्याख्या:
यहाँ, g = \(x^3\), और इसलिए f(g) = sin g
तो, f'(g) = cos g = cos \(x^3\)
g' = \(\frac{d}{dx} g = \frac{d}{dx} x^3 = 3x^2\)
\(\frac{d}{dx} sin x^3 = f'(g) . g' = 3x^2 . cos x^3\)
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