तेज गुणा करने के तरीके (Fast Multiplication Tricks)

Overview

इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Fast Multiplication Tricks, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• तेज गुणा करने के तरीके
• वर्ग और घन ढूँढना
• वर्गमूल और घनमूल कैसे ज्ञात करें
• सरलीकरण सम्बंधित अवधारणाएं, तरीके और तरकीबें
• घातांक क्या होते हैं?
• करणी क्या होते हैं?
• लघुगणक क्या होते है?

एप्टीटुड परीक्षा में, हमें समय बचाने और अपनी गणना में तेज होने की आवश्यकता होती है। गुणा एक ऐसी चीज है जो आपको किसी भी एप्टीट्यूड या गणित की परीक्षा में जरूर करनी होगी।

इसलिए, इस लेख में हम कुछ वैकल्पिक तरीकों का पता लगाएंगे जो हमें किसी गुणा के मान को तेजी से जानने की अनुमति देते हैं। हम आशा करते हैं कि आप पहले से ही गुणन की मूल पारंपरिक विधि जानते हैं (जहां हम दाईं ओर से गुणा करना शुरू करते हैं, अर्थात इकाई अंकों से और फिर बाईं ओर चलते हैं)।

ट्रिक विधि (Trick Method)

क्या आप उन लोगों में से हैं जिन्हें भिन्न-भिन्न संख्याओं को याद रखने में कठिनाई होती है, जैसे की टेबल। मैं आपको अपना एक रहस्य बताता हूं। मुझे अपने स्कूल के दिनों में कभी गणित की टेबल याद नहीं होती थी।

इसके बजाय मैंने एक नई विधि विकसित की। हालांकि इस पद्धति में कुछ भी असाधारण नहीं है, और कई अन्य लोग भी इसका इस्तेमाल करते हैं।

इस पद्धति में, हम गुणा नहीं करते हैं, बल्कि संख्याओं को जोड़ते या घटाते हैं। आखिर गुणा, जोड़ करने का एक तेज़ तरीका ही तो है। 4 × 3 का मतलब है कि हमें 4 को तीन बार (4 + 4 + 4) जोड़ना होगा, या 3 को चार बार (3 + 3 + 3 + 3) जोड़ना होगा।

3 तक के गुणज ज्ञात कीजिए (Find multiples till 3)

यदि किसी संख्या को 1, 2 या 3 से गुणा किया जाता है, तो गुणनफल खोजना बहुत आसान होता है। यहां कोई रॉकेट साइंस नहीं है।

उदाहरण के लिए, 13 × 2 = 13 + 13 = 26 (दहाई का अंक पहले जोड़ें फिर इकाई अंक, यानी 10 + 10 = 20, 3 + 3 = 6; तो, 20 + 6 = 26)

17 × 3 = 51 (दहाई का अंक पहले जोड़ें फिर इकाई अंक, यानी 10 + 10 + 10 = 30, 7 + 7 + 7 = 21; तो, 30 + 21 = 51)

4 से 8 तक के गुणज खोजें (Find multiples from 4 to 8)

यदि किसी संख्या को 4, 5, 6, 7 या 8 से गुणा किया जाता है, तो हम एक युक्ति का प्रयोग करेंगे।

दी गई संख्या को 5 से गुणा करने पर मिलने वाला अंक हमारा शुरूआती बिंदु बनेगा। आप इसे विभिन्न संख्याओं के लिए याद कर सकते हैं, या आप इसकी आसानी से गणना भी कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, 13 × 5 = (13 × 10)/2 = 130/2 = 65
11 × 5 = (11 × 10)/2 = 110/2 = 55

किसी संख्या के अन्य गुणज ज्ञात करने के लिए हम इसका उपयोग कैसे कर सकते हैं?

मान लीजिए, हमें 13 × 4 खोजने की जरूरत है। यह और कुछ नहीं, बल्कि यह है (13 × 5) - 13 = 65 - 13 = 52
इसी प्रकार, 13 × 6 = (13 × 5) + 13 = 65 + 13 = 78

17 × 7 = (17 × 5) + (17 × 2) = 85 + 34 = 119
17 × 8 = (17 × 5) + (17 × 3) = 85 + 51 = 136 (हम इसकी गणना 17 × 10 - 17 × 2 = 170 - 34 = 136) के रूप में भी कर सकते हैं।

37 × 6 = (37 × 5) + 37 = [(37 × 10)/2] + 37 = 370/2 + 37 = [300/2 + 70/2] + 37 = 150 + 35 + 37 = 150 + 35 + 35 + 2 = 150 + 70 + 2 = 220 + 2 = 222

उपरोक्त सभी गणना कागज पर नहीं, अपने दिमाग में करने की जरूरत है। मानसिक रूप से किए जाने पर यह बहुत तेज होती है।

9 से 13 तक के गुणज खोजें (Find multiples from 9 to 13)

यदि किसी संख्या को 9, 10, 11, 12 या 13 से गुणा किया जाता है, तो हम इसी तरह के तरीके का उपयोग करेंगे।

दी गई संख्या को 10 से गुणा करने पर मिलने वाली संख्या हमारा शुरूआती बिंदु बनेगी।

उदाहरण के लिए, 13 × 9. यह और कुछ नहीं, बल्कि यह है: (13 × 10) - 13 = 130 - 13 = 117
इसी प्रकार, 13 × 11 = (13 × 10) + 13 = 130 + 13 = 143

17 × 12 = (17 × 10) + (17 × 2) = 170 + 34 = 204
17 × 13 = (17 × 10) + (17 × 3) = 170 + 51 = 221

37 × 11 = (37 × 10) + 37 = 370 + 37 = 407

हम समान तरीके से किसी संख्या के उच्च गुणज ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 44 × 31 = (44 × 30) + (44 × 1) = (440 + 440 + 440) + 44 = (400 + 400 + 400) + (40 + 40 + 40) + (40 + 4) = 1200 + 160 + 4 = 1364

नोट

तेजी से गणना करने के लिए, आपको 20 तक की तालिकाएँ याद रखनी चाहिए। यानी 2 से 20 तक की संख्याओं की तालिकाएँ। आपको उनके 20 गुणकों (सिर्फ 10 तक नहीं) को याद रखना होगा। यह आपकी गणना की गति को बहुत बढ़ा देगा।

उदाहरण के लिए, आपको पता होना चाहिए कि 13 × 17, 11 × 13, 19 × 7 आदि क्या होता है।

हालाँकि, यदि आप नहीं कर सकते हैं, या आप अपनी याददाश्त के बारे में बहुत आश्वस्त नहीं हैं, तो ऊपर बताए गए तरीके का उपयोग करें। मैं अभी भी कई मामलों में इसी पद्धति का उपयोग करता हूं। उस पद्धति की एक खूबी यह है कि हम इसका उपयोग बड़ी संख्या के लिए भी कर सकते हैं, जैसे की, 23 × 31, 123 × 102 आदि।

विशिष्ट मामले (Specific Cases)

सौ के करीब की संख्याओं का गुणन (Multiplication of numbers near hundred)

यदि गुणा की जा रही संख्या 100 के करीब है, तो उनके गुणनफल को खोजने का एक और तेज़ तरीका है।

माना कि हमारी दो संख्याएँ 100 + a और 100 + b हैं। तब हमारे गुणनफल को दो भागों में पाया जा सकता है: दूसरा भाग | पहला भाग

• पहले भाग में 2 अंक होंगे: a × b (यदि 2 से अधिक अंक हैं, तो हम इसे बाईं ओर carry करेंगे)
• दूसरा भाग: (100 + a) + b

उदाहरण के लिए, 102 × 106 = (100 + 2) × (100 + 6)

• पहले भाग में 2 अंक होंगे: 2 × 6 = 12
• दूसरा भाग: (100 + a) + b = 102 + 6 = 108

तो, हमारा गुणनफल होगा 10812

113 × 109 = (100 + 13) × (100 + 9)

• पहले भाग में 2 अंक होंगे: 13 × 9 = 117 (हम 17 रखेंगे, और 1 को बाईं ओर ले जाएंगे)
• दूसरा भाग: (100 + a) + b = 113 + 9 = 122

तो, हमारा गुणनफल होगा 122 | 117 = 123 | 17 = 12317

क्या होगा यदि संख्याएं 100 से नीचे हैं?

96 × 92 = (100 - 4) × (100 - 8)

• पहले भाग में 2 अंक होंगे: (-4) × (-8) = 32
• दूसरा भाग: (100 + a) + b = 96 + (-8) = 88

तो, हमारा गुणनफल 8832 होगा

87 × 91 = (100 - 13) × (100 - 9)

• पहले भाग में 2 अंक होंगे: (-13) × (-9) = 117 (हम 17 रखेंगे, और 1 को बाईं ओर ले जाएंगे)
• दूसरा भाग: (100 + a) + b = 87 + (-9) = 78

तो, हमारा गुणनफल होगा 78 | 117 = 79 | 17 = 7917

क्या होगा यदि एक संख्या 100 से ऊपर है, और दूसरी 100 से नीचे है?

104 × 92 = (100 + 4) × (100 - 8)

• पहले भाग में 2 अंक होंगे: 4 × (-8) = -32 (बाएं हाथ से 100 लेकर हम इसे सकारात्मक बना देंगे)
• दूसरा भाग: (100 + a) + b = 104 + (-8) = 96

तो, हमारा गुणनफल होगा 96 | (-32) = 95 | (100 - 32) = 95 | 68 = 9568

क्या होगा अगर संख्या 200 या 300 के करीब है?

उदाहरण के लिए, 202 × 206 = (200 + 2) × (200 + 6)

• पहले भाग में 2 अंक होंगे: 2 × 6 = 12
• दूसरा भाग: n [(200 + a) + b] = 2 [202 + 6] = 2 × 208 = 416 (n का मान 2 होगा, यदि संख्याएँ 200 के करीब हैं, 3 यदि वे 300 के करीब हैं, और आगे भी।)

तो, हमारा गुणनफल 41612 होगा|

इकाई अंकों का जोड़ 10 है और दहाई अंक समान हैं (Unit digits add upto 10 and Ten's digits are same)

यदि दो, ऐसी दो अंकों की संख्याओं को गुणा किया जा रहा है, जो इस प्रकार हैं:

• उनका दहाई का अंक समान है, मान लीजिए t.
• उनके इकाई अंकों का योग 10 है, मान लीजिए a + b = 10

फिर, उनके गुणनफल के दो भाग होंगे: दूसरा भाग | पहला भाग

पहला भाग (इसमें 2 अंक होंगे) = a × b
दूसरा भाग = t (t + 1)

उदाहरण के लिए, 44 × 46 = 4 (4 + 1) | 4 × 6 = 4 × 5 | 4 × 6 = 20 | 24 = 2024
31 × 39 = 3 (3 + 1) | 1 × 9 = 3 × 4 | 1 × 9 = 12 | 09 = 1209

संख्याओं का अंतर 10 है और इकाई के अंक 5 हैं (Difference of the numbers is 10 and Unit digits are 5)

यदि दो ऐसी संख्याओं को गुणा किया जा रहा है, जो इस प्रकार हैं:

• दोनों की इकाई का अंक 5 है। अतः मान लीजिए कि संख्याएँ a5 और b5 हैं (जहाँ a ⩽ b)
• संख्याओं के बीच का अंतर 10 है।

फिर, उनके गुणनफल के दो भाग होंगे: दूसरा भाग | पहला भाग

पहला भाग = 75 (यह हमेशा 75 रहेगा)
दूसरा भाग = a (a + 2)

उदाहरण के लिए, 35 × 45 = 3 (3 + 2) | 75 = 3 × 5 | 75 = 15 | 75 = 1575

10, 100, 1000 के करीब की संख्या से गुणा (Multiplication by a number close to 10, 100, 1000)

ऐसी संख्याओं से गुणा करने के लिए, उन्हें (10 ± a), (100 ± a), (1000 ± a) के रूप में परिवर्तित करें।

उदाहरण के लिए, 43 × 98 = 43 × (100 – 2) = 43 × 100 – 43 × 2 = 4300 – 86 = 4214

5 से गुणा या 5 की किसी घात से गुणा (Multiplication by 5 or powers of 5)

5 या 5 की घातों से गुणा करने के लिए, उन्हें 10 या 10 की घातों में परिवर्तित करें, और फिर 2 या उसके घातों से विभाजित करें।

उदाहरण के लिए, 67 × 25 = 67 × \(5^2\) = 67 × \((\frac{10}{2})^2 = 67 × \frac{100}{4} = \frac{6700}{4}\) = 1675