समान्तर श्रेढ़ी का औसत कैसे ज्ञात करें? (How to find Average of Numbers in an Arithmetic Progression?)
Overview
इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - How to find Average of Numbers in an Arithmetic Progression?, in Hindi
नोटइस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:
समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression, A.P.) में स्तिथ संख्याओं का औसत ज्ञात करने के लिए, हमारे पास तीन विधियाँ हैं| कौनसी विधि प्रयोग में लानी है, यह संख्याओं के प्रकार पर निर्भर करेगा|
विधि 1
समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression, A.P.) में दो मामले सामने आते हैं:
- शृंखला जिसमें पदों की संख्या विषम (odd) हो
- शृंखला जिसमें पदों की संख्या सम (even) हो
शृंखला जिसमें पदों की संख्या विषम हो (Series having odd number of terms)
जब पदों की संख्या विषम हो, तो औसत मध्य पद होगा।
उदाहरण के लिए, अनुक्रम 5, 6, 7, 8, 9 में बीच की संख्या 7 है।
अत: इस श्रंखला का माध्य (mean)/औसत (average) = 7
प्र. यदि 23 क्रमागत (consecutive) विषम संख्याओं का औसत 91 है, तो इनमें से सबसे बड़ी संख्या कौन-सी होनी चाहिए?
(a) 113 (b) 115 (c) 117 (d) 119
व्याख्या:
यहाँ विषम संख्याएँ, जिनका औसत दिया गया है, वो क्रमागत (consecutive) हैं। इसलिए, वे समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) में हैं|
चूंकि समान्तर श्रेढ़ी में पदों की संख्या विषम है (अर्थात 23), उनका औसत मध्य संख्या (middle number) होना चाहिए, अर्थात दी गई श्रृंखला की 12वीं संख्या।
इस समान्तर श्रेढ़ी की 12वीं संख्या 91 है, और हमें 23वीं संख्या (जो सबसे बड़ी संख्या है) ज्ञात करनी है।
किन्हीं दो क्रमागत विषम संख्याओं का अंतर 2 है।
अत: 23वीं संख्या = 12वीं संख्या + (11 × 2) = 91 + 22 = 113
उत्तर: (a)
शृंखला जिसमें पदों की संख्या सम हो (Series having even number of terms)
जब पदों की संख्या सम (even) हो, तो औसत दो मध्य पदों का औसत होगा।
उदाहरण के लिए, अनुक्रम 5, 6, 7, 8 में, मध्य पद 6 और 7 हैं।
तो, श्रृंखला का माध्य (mean)/औसत (average) = (6 + 7)/2 = 13/2 = 6.5
चेतावनीयदि श्रृंखला बहुत लंबी है, तो इस पद्धति का उपयोग करना कठिन होगा। मध्य पद (या पदों) का पता लगाने में कुछ समय लग जायेगा।
विधि 2
अगर किसी A. P. में पहला पद a और आखिरी पद l है, तो :
श्रंखला का औसत = (a + l)/2.
उदाहरण के लिए, श्रंखला 5, 6, 7, 8, 9 में, औसत = (5 + 9)/2 = 7
और श्रंखला 5, 6, 7, 8 में, औसत = (5 + 8)/2 = 6.5.
नोटयदि श्रृंखला बहुत लंबी है, तो इस विधि का उपयोग किया जा सकता है।
विधि 3: क्रमागत (consecutive) संख्याओं के लिए
सामान्य सूत्र (General Formulae)
1 से शुरू होने वाली क्रमागत (consecutive) प्राकृतिक संख्याओं का औसत ज्ञात करने के लिए, हम विशेष रूप से एक अन्य विधि का उपयोग कर सकते हैं।
पहले n क्रमागत प्राकृत संख्याओं का औसत = \(\frac{𝑛+1}{2}\)
पहले n क्रमागत प्राकृत संख्याओं के वर्गों (squares) का औसत = \(\frac{(n+1)(2n+1)}{6}\)
पहले n क्रमागत प्राकृत संख्याओं के घनों (cubes) का औसत = \(\frac{n(n+1)^2}{4}\)
क्रमागत सम संख्याओं के सूत्र (Formulae for consecutive even numbers)
पहले n क्रमागत सम संख्याओं का औसत = (n + 1)
जैसे की, 2, 4, 6, 8, 10 का औसत = (5 + 1) = 62 से शुरू होने वाली, पहली n क्रमागत सम संख्याओं का औसत (x तक) = \(\frac{x + 2}{2}\)
जैसे की, 2, 4, 6, 8, 10 का औसत = (10 + 2)/2 = 12/2 = 6
पहले n क्रमागत सम संख्याओं के वर्ग का औसत = \(\frac{2(n+1)(2n+1)}{3}\)
2 से शुरू होने वाली, पहली n क्रमागत सम संख्याओं के वर्ग का औसत (x तक) = \(\frac{(x + 1) (𝑥 + 2)}{3}\)
क्रमागत विषम संख्याओं के सूत्र (Formulae for consecutive odd numbers)
पहली n क्रमागत विषम संख्याओं का औसत = n
जैसे की, 1, 3, 5, 7, 9, 11 का औसत = 61 से शुरू होने वाली, पहली n क्रमागत विषम संख्याओं का औसत (x तक) = \(\frac{x+1}{2}\)
जैसे की, 1, 3, 5, 7, 9, 11 का औसत = (11 + 1)/2 = 12/2 = 6
1 से शुरू होने वाली, पहली n क्रमागत विषम संख्याओं के वर्ग का औसत (x तक) = \(\frac{𝑥(𝑥 + 2)}{3}\)