वर्गमूल और घनमूल कैसे ज्ञात करें (Finding Square roots and Cube roots)

Overview

इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Finding Square roots and Cube roots, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• तेज गुणा करने के तरीके
• वर्ग और घन ढूँढना
• वर्गमूल और घनमूल कैसे ज्ञात करें
• सरलीकरण सम्बंधित अवधारणाएं, तरीके और तरकीबें
• घातांक क्या होते हैं?
• करणी क्या होते हैं?
• लघुगणक क्या होते है?

इस लेख में, हम सीखेंगे कि संख्याओं के वर्गमूल (Square roots) और घनमूल (Cube roots) कैसे ज्ञात करें।

गणित में Evolution क्या है?

Evolution किसी व्यंजक/संख्या के मूलों को खोजने की प्रक्रिया है।

मूल एक ऐसी मात्रा है, जिसे जब एक, दो, तीन .... n बार खुद से गुणा किया जाता है, तो दिए गए व्यंजक/संख्या का निर्माण होता है।

उदाहरण के लिए वर्गमूल (square root), घनमूल (cube root), आदि।

सम और विषम मूल (Even and Odd roots)

यदि दिए गए व्यंजक/संख्या को प्राप्त करने के लिए, हमें उसके मूल को अपने आप से सम संख्या बार (even number of times) गुणा करना पड़ता है, तो इसे सम मूल (even root) कहते हैं, जैसे की वर्गमूल।

उदाहरण के लिए, $\sqrt{3} × \sqrt{3}$ = 3 (मूल को 2 बार गुणा करना होगा)

यदि दिए गए व्यंजक/संख्या को प्राप्त करने के लिए, हमें उसके मूल को अपने आप से विषम संख्या बार (odd number of times) गुणा करना पड़ता है, तो इसे विषम मूल (odd root) कहते हैं, जैसे की घनमूल।

उदाहरण के लिए, $\sqrt[3]{2} × \sqrt[3]{2} × \sqrt[3]{2}$ = 2 (मूल को 3 बार गुणा करना होगा)

वर्गमूल क्या होता है? (What is Square Root?)

यदि व्यंजक/संख्या x का वर्गमूल r है, तो हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

• r = $\sqrt{x}$, या

• x = $r^2$

प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या (positive real number) के दो वर्गमूल होते हैं:

• धनात्मक वर्गमूल, उदा. $\sqrt{9}$ = 3

• ऋणात्मक वर्गमूल, उदा. $\sqrt{9}$ = -3

इसलिए, सामान्य तौर पर, हम एक सकारात्मक वास्तविक संख्या का वर्गमूल ± चिह्न के साथ लिखते हैं। उदाहरण के लिए, $\sqrt{9}$ = ±3

नोट

शून्य का केवल एक वर्गमूल होता है, खुद 0 ही।

ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं (Negative real numbers) के भी दो वर्गमूल होते हैं। उदाहरण के लिए, -9 के वर्गमूल 3i और -3i हैं, जहां i = $\sqrt{-1}$

किसी संख्या का वर्गमूल कैसे ज्ञात करें? (How to find Square Root of a number?)

आइए जानें कि विभिन्न प्रकार की संख्याओं के वर्गमूल कैसे ज्ञात करें। हमने इस उद्देश्य के लिए संख्याओं को दो श्रेणियों में विभाजित किया है:

• शुद्ध वर्ग संख्याएं (Perfect Square Numbers), जैसे की 25, 36, आदि।
• अन्य संख्याएं

किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए हम अनेक विधियों का उपयोग कर सकते हैं। आइए जानें उनमें से कुछ को जानें।

नोट

1 से 30 तक सभी संख्याओं के वर्ग याद करें। यह किसी भी एप्टीटुड परीक्षा में आपकी बहुत मदद करेगा।

वर्गमूल विभाजन विधि का उपयोग करना (Using Square Root Division Method)

हम इस विधि का उपयोग किसी भी संख्या के वर्गमूल को खोजने के लिए कर सकते हैं (पूर्ण वर्ग हो या नहीं)। आइए एक उदाहरण का उपयोग करके इस पद्धति में शामिल चरणों को समझते हैं।

आइए 29,320 का वर्गमूल ज्ञात करें।

चरण 1: हम लाभांश/dividend (अर्थात 29,320) को दो-दो अंकों के समूह में विभाजित करेंगे, जो कि इकाई अंक से शुरू होता है, अर्थात दाईं ओर से। यदि अंकों की संख्या विषम है (जैसा कि 29,320 के मामले में है), तो सबसे बाएं ब्लॉक में केवल एक अंक होगा। तो, हमारा लाभांश (dividend) इस तरह दिखेगा:

Simplification

नोट

यदि हम किसी दशमलव संख्या का वर्गमूल ज्ञात कर रहे हैं, मान लीजिए 29320.348 का, तो दो-दो संख्याओं के ब्लॉक बनाने की प्रक्रिया दशमलव बिंदु से बाईं ओर, और साथ ही दाईं ओर शुरू होगी।

दाईं ओर, हम दी गई संख्या के मान को बदले बिना, अंकों की जोड़ी बनाने के लिए हमेशा 0 जोड़ ही सकते हैं।

तो, हमारा लाभांश (dividend) इस तरह दिखेगा:

Simplification

चरण 2: तो, हम लाभांश (dividend) जानते हैं। लेकिन विभाजक (divisor) के बारे में क्या?

वर्गमूल विभाजन विधि में, हमें अपने भाजक (divisor) को प्रत्येक चरण में निकालना होता है। यानी यह बदलता रहेगा।

हमारी गणना के पहले चरण के लिए, हम अपने लाभांश में अंकों के सबसे बाएं ब्लॉक पर विचार करेंगे, यानी 2. इस चरण के लिए हमारा भाजक, 2 के वर्गमूल का पूर्णांक वाला हिस्सा (integral part) होगा। हम जानते हैं कि 2, 1 और 4 के बीच आता है। तो, इसका वर्गमूल 1.कुछ होना चाहिए। इसका पूर्णांक वाला हिस्सा 1 है, जो हमारा पहला भाजक होगा।

इसे हम भाजक के स्थान पर, और क्षैतिज रेखा के ऊपर भागफल (quotient) के रूप में भी लिखेंगे। इसे नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है:

Simplification

नोट

आखिरकार, सभी चरणों के अंत में, क्षैतिज पट्टी के ऊपर की संख्या हमारा अभीष्ट वर्गमूल होगा।

चरण 3: अब, इस संख्या को स्वयं से गुणा करें, और इसे संख्याओं के सबसे बाएं वाले ब्लॉक से घटाएं।

अतः, हमें प्राप्त होता है 2 - (1 × 1) = 2 - 1 = 1

इसके बाद, नया लाभांश, 193 प्राप्त करने के लिए दो अंकों के अगले ब्लॉक को नीचे लाएं।

Simplification

चरण 4: तो, हम नए लाभांश को जानते हैं। लेकिन नए भाजक के बारे में क्या?

नए भाजक के दो भाग होंगे:

• पहले भाग को उसके इकाई अंक में, पिछले चरण में प्राप्त भाजक को जोड़कर निकाला जा सकता है। हमारे मामले में, यह होगा: 1 (पिछला भाजक) + 1 (पिछले भाजक का इकाई अंक) = 2
• माना भाजक का दूसरा भाग x है। तो, हमारा नया भाजक 2x होगा। अब, अंक x का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि (2x) × x वह अधिकतम संभव संख्या हो जो नए लाभांश से कम या उसके बराबर हो।

हमारे मामले में, यदि हम x = 7 रखते हैं, तो 27 × 7 = 189 (जो कि 193 से कम है); जबकि 28 × 8 = 224 (जो कि 193 से अधिक है)। तो, हमारा नया भाजक 27 है। हम x (यानी 7) के इस नए मान को क्षैतिज पट्टी के शीर्ष पर भी रखेंगे।

अब, इस गुणनफल को लाभांश से घटाइए, अर्थात् 193 - 189 = 4

इसके बाद, नया लाभांश, 420 प्राप्त करने के लिए दो अंकों के अगले ब्लॉक को नीचे लाएं।

Simplification

चरण 5: तो, हम नए लाभांश के बारे में जानते हैं। लेकिन नए भाजक के बारे में क्या?

उपरोक्त चरण में हमने जो प्रक्रिया अपनाई है, उसका फिर से पालन किया जाना चाहिए।

नए भाजक के दो भाग होंगे:

• पहले भाग को उसके इकाई अंक में, पिछले चरण में प्राप्त भाजक को जोड़कर निकाला जा सकता है। हमारे मामले में, यह होगा: 27 (पिछला भाजक) + 7 (पिछले भाजक का इकाई अंक) = 34
• माना भाजक का दूसरा भाग x है। तो, हमारा नया भाजक 34x होगा। अब, अंक x का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि (34x) × x वह अधिकतम संभव संख्या हो जो नए लाभांश से कम या उसके बराबर हो।

हमारे मामले में, यदि हम x = 1 डालते हैं, तो 341 × 1 = 341 (जो 420 से कम है); जबकि 342 × 2 = 684 (जो 420 से अधिक है)। तो, हमारा नया भाजक 341 है। हम x (यानी 1) के इस नए मान को क्षैतिज पट्टी के शीर्ष पर भी रखेंगे।

अब, इस गुणनफल को लाभांश से घटाएं, अर्थात 420 - 341 = 79

नोट

यदि हमारी संख्या 29,320 एक पूर्ण वर्ग होती, तो हमें इस चरण में शेषफल के रूप में 0 प्राप्त होता। यानी पूर्ण वर्गों के मामले में, जब नीचे लाने के लिए कोई और अंक नहीं बचेगा, तो हमें शेषफल 0 मिलेगा।

हालाँकि, क्यूंकि हमें यहाँ शेषफल मिला है, इसका मतलब है कि हमारे अभीष्ट वर्गमूल में एक दशमलव घटक भी होगा।

इसके बाद, नया लाभांश प्राप्त करने के लिए दो अंकों के अगले ब्लॉक को नीचे लाएं। चूंकि, कोई संख्या नहीं बची है, हम भागफल में एक दशमलव बिंदु लगाएंगे, और नया लाभांश प्राप्त करने के लिए 79 में दो शून्य जोड़ देंगे, 7900

Simplification

नोट

यदि हम किसी दशमलव संख्या का वर्गमूल ज्ञात कर रहे होते, मान लीजिए 29320.348 का, तो हम दो अंकों के अगले ब्लॉक को नीचे ला देते, जो दशमलव बिंदु के बाद लिखे हुए हैं|

चरण 6: तो, हम नए लाभांश के बारे में जानते हैं। लेकिन नए भाजक के बारे में क्या?

उपरोक्त चरण में हमने जो प्रक्रिया अपनाई है, उसका फिर से पालन किया जाना चाहिए।

नए भाजक के दो भाग होंगे:

• पहले भाग को उसके इकाई अंक में, पिछले चरण में प्राप्त भाजक को जोड़कर निकाला जा सकता है। हमारे मामले में, यह होगा: 341 (पिछला भाजक) + 1 (पिछले भाजक का इकाई अंक) = 342
• माना भाजक का दूसरा भाग x है। तो, हमारा नया भाजक 342x होगा। अब, अंक x का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि (342x) × x सबसे बड़ी संभव संख्या है जो नए लाभांश से कम या उसके बराबर है।

हमारे मामले में, यदि हम x = 2 डालते हैं, तो 3422 × 2 = 6844 (जो कि 7900 से कम है); जबकि 3423 × 3 = 10269 (जो कि 7900 से अधिक है)। तो, हमारा नया भाजक 3422 है। हम x (यानी 2) के इस नए मान को क्षैतिज पट्टी के शीर्ष पर भी रखेंगे।

अब, इस गुणनफल को लाभांश से घटाएं, अर्थात 7900 - 6844 = 1056

इसके बाद, नया लाभांश प्राप्त करने के लिए 1056 में दो शून्य जोड़ें, 105600

Simplification

नोट

हम अभीष्ट वर्गमूल (जो सबसे ऊपरी क्षैतिज पट्टी के शीर्ष पर लिखा हुआ है) के अधिक से अधिक सटीक मान प्राप्त करने के लिए इस प्रक्रिया को आगे भी जारी रख सकते हैं।

तुक्का मारने की विधि (Hit and Try Method)

किसी संख्या के वर्गमूल का मोटा-मोटा अनुमान लगाएं, और उस संख्या को अपने आप से गुणा करके जांच लें कि आपका अनुमान सही है या नहीं। यदि परिणामी संख्या दी गई संख्या से कम/अधिक हो तो पर्याप्त सुधार करें।

यह विधि छोटी संख्याओं के लिए ठीक काम करती है। आइए कुछ उदाहरण देखें।

मान लीजिए, हमें 529 का वर्गमूल ज्ञात करना है। अब, हम पहले से ही जानते हैं कि $20^2$ = 400, और $25^2$ = 625. इसलिए, आवश्यक संख्या 20 से अधिक, लेकिन 25 से कम होनी चाहिए। 529, 400 से ज्यादा 625 के करीब लगता है। इसलिए, हमारा आवश्यक रूट/मूल 20 से ज्यादा 25 के करीब होना चाहिए। आइए $23^2$ की जाँच करें - इसका मान 529 है।

नोट

चूंकि 529 का अंतिम अंक 9 है, हम आसानी से अनुमान लगा सकते हैं कि यह एक ऐसी संख्या का वर्ग होना चाहिए जिसका अंतिम अंक 3 हो (क्योंकि 3 × 3 = 9)

हम उपरोक्त विधि का उपयोग उन संख्याओं के अनुमानित वर्गमूल मान ज्ञात करने के लिए भी कर सकते हैं जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

भागों में बाटकर हल करें (Solve in Parts Method)

इस विधि में हम दी गई संख्या को भागों में विभाजित करते हैं और फिर उसका वर्गमूल ज्ञात करते हैं। हम इस विधि का उपयोग करते हैं पूर्ण वर्गों के वर्गमूल (perfect squares) को खोजने के लिए। तो, इस पद्धति की सीमित प्रयोज्यता है। ज्यादातर मामलों में, हम नहीं जानते कि दी गई संख्या एक पूर्ण वर्ग है या नहीं।

लेकिन यह फिर भी कुछ मामलों में उपयोगी हो सकती है, क्योंकि यह बहुत तेज़ है और हमें उन संख्याओं के वर्गमूल के अनुमानित मान खोजने में भी मदद कर सकती है जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

इस पद्धति में, हम वर्गों के अंतिम अंक के ज्ञान का उपयोग करते हैं। नीचे दी गई तालिका पर एक नजर डालें:

Simplification

आप देखेंगे कि किसी वर्ग का अंतिम अंक, वर्ग की जा रही संख्या के अंतिम अंक पर निर्भर करता है।

उदाहरण के लिए, $6^2$ = 36, $16^2$ = 256, $1236^2$ = 1527696 (सभी वर्गों का अंतिम अंक समान हैं, अर्थार्थ 6)
$3^2$ = 9, $13^2$ = 169, $1233^2$ = 1520289 (सभी वर्गों का अंतिम अंक 9 समान हैं, अर्थार्थ 9)

आइए अब इस विधि को समझते हैं। हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:

• चरण 1: संख्या को दो भागों में विभाजित करें: दो सबसे दाहिने अंक और शेष संख्या। उदाहरण के लिए, 144 को $1 \overline{44}$ के रूप में लिखा जा सकता है; 5476 को $\overline{54}$ $\overline{76}$ के रूप में लिखा जा सकता है; 11664 को $\overline{116}$ $\overline{64}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

• चरण 2: अंकों के सबसे दाहिने जोड़े, यानी अंतिम सेट पर ध्यान न दें। शेष संख्या पर ध्यान दें, अर्थात पहला भाग, उदा. $1 \overline{44}$ में, 44 पर ध्यान न दें।

• चरण 3: अधिकतम संभव संख्या ज्ञात कीजिए, जिसका वर्ग पहले भाग से कम या उसके बराबर है, अर्थात 1. यह हमारे आवश्यक वर्गमूल का पहला अंक होगा। $1^2$ = 1 (= 1)। तो, उत्तर का पहला अंक 1 है।

• चरण 4: वर्गमूल का अंतिम अंक दी गई संख्या के अंतिम अंक पर निर्भर करेगा, अर्थात 4 पर। आप वर्गमूल का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए ऊपर दी गई तालिका देख सकते हैं। तो, उत्तर का अंतिम अंक या तो 2 या 8 होना चाहिए।
  
  
• चरण 5: यदि एक से अधिक संभावित अंक हैं (जैसे हमारे मामले में 2 या 8), तो हम चरण 3 में प्राप्त उत्तर के पहले भाग को (बाएं भाग उत्तर + 1) से गुणा करेंगे, अर्थात 1 × (1 + 1) = 1 × 2 = 3. यदि यह दी गई संख्या के बाएँ भाग से बड़ा निकलता है, तो उत्तर का दायाँ भाग दोनों में से छोटा होगा। अन्यथा, यदि वह दी गई संख्या के बाएँ भाग से छोटा निकलता है, तो उत्तर का दायाँ भाग दोनों में से बड़ा होगा। हमारे मामले में, 3 > 1. तो, उत्तर का दाहिना भाग 2 और 8 में से छोटा वाला होगा, अर्थात 2। तो, हमारा वर्गमूल 12 होगा।

क्या यह बहुत ज्यादा हो गया? चिंता मत करिये। कुछ उदाहरणों के माध्यम से यह और भी स्पष्ट हो जाएगा।

प्रश्न. 1225 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

व्याख्या:

प्र. 3249 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

व्याख्या:

प्र. 24336 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

व्याख्या:

घनमूल क्या होता है? (What is Cube Root?)

यदि किसी व्यंजक/संख्या x का घनमूल r है, तो हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

• r = $\sqrt[3]{x}$, या

• x = $r^3$

प्रत्येक वास्तविक संख्या (धनात्मक या ऋणात्मक) के तीन घनमूल होते हैं:

• एक वास्तविक घनमूल, उदा. $\sqrt[3]{27}$ = 3 (क्योंकि $3^3$ = 27), और $\sqrt[3]{-27}$ = -3 (क्योंकि $-3^3$ = -27)

• दो सम्मिश्र घनमूल, उदा. वास्तविक घनमूल 1 के अलावा, संख्या 1 में दो सम्मिश्र घनमूल भी हैं → $(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$ और $(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})$

नोट

शून्य का केवल एक घनमूल होता है, 0 खुद ही।

किसी संख्या का घनमूल कैसे ज्ञात करें? (How to find Cube Root of a number?)

भागों में बाटकर हल करें (Solve in Parts Method)

हमने इस लेख में पहले वर्गमूल का पता लगाने के लिए इस विधि का उपयोग किया था। हम इसका उपयोग घनमूल निकालने के लिए भी कर सकते हैं।

इस विधि में हम दी गई संख्या को भागों में विभाजित करते हैं और फिर उसका घनमूल ज्ञात करते हैं। हम इस विधि का उपयोग पूर्ण घनों (perfect cubes) के घनमूलों को खोजने के लिए करते हैं। तो, इस पद्धति की सीमित प्रयोज्यता है। ज्यादातर मामलों में, हम नहीं जानते कि दी गई संख्या एक पूर्ण घन है या नहीं।

लेकिन यह फिर भी कुछ मामलों में उपयोगी हो सकती है, क्योंकि यह बहुत तेज़ है और हमें उन संख्याओं के घनमूलों के अनुमानित मान खोजने में भी मदद कर सकती है जो पूर्ण घन नहीं हैं।

इस विधि में हम घनों के अंतिम अंक के ज्ञान का उपयोग करते हैं। नीचे दी गई तालिका पर एक नजर डालें:

Simplification

आप देखेंगे कि घन का अंतिम अंक, घन की संख्या के अंतिम अंक पर निर्भर करता है।

उदाहरण के लिए, $6^3$ = 216, $16^3$ = 4096, $1236^3$ = 1,88,82,32,256 (सभी घनों का अंतिम अंक समान है, अर्थार्थ 6)
$3^3$ = 27, $13^3$ = 2197, $1233^3$ = 1,87,45,16,337 (सभी घनों का अंतिम अंक समान है, अर्थार्थ 7)

नोट

ध्यान दें कि, वर्गों के विपरीत, घनों के मामले में किसी भी दो संख्याओं का अंतिम अंक समान नहीं होता है, अर्थात प्रत्येक घन का एक अद्वितीय अंतिम अंक होता है।

आइए अब इस विधि को समझते हैं। हम इसमें निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:

• चरण 1: संख्या को दो भागों में विभाजित करें: तीन सबसे दाहिने अंक और शेष संख्या। उदाहरण के लिए, 1728 को $1 \overline{728}$ के रूप में लिखा जा सकता है; 35937 को $\overline{35}$ $\overline{937}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

• चरण 2: अंकों के सबसे दाहिने सेट, यानी अंतिम सेट पर ध्यान न दें। शेष संख्या पर ध्यान दें, अर्थात पहला भाग| उदा. $1 \overline{728}$ में, 728 पर ध्यान न दें।

• चरण 3: वो अधिकतम संभव संख्या ज्ञात कीजिए, जिसका घन पहले भाग से कम या उसके बराबर है, अर्थात 1 से| यह हमारे अभीष्ट घनमूल का पहला अंक होगा। $1^3$ = 1 (= 1). तो, उत्तर का पहला अंक 1 है।

• चरण 4: घनमूल का अंतिम अंक दी गई संख्या के अंतिम अंक पर निर्भर करेगा, अर्थात 8 पर| वर्गमूल का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए आप ऊपर दी गई तालिका देख सकते हैं। तो, उत्तर का अंतिम अंक 2 होना चाहिए। तो, हमारा घनमूल 12 होगा।

कुछ उदाहरणों के माध्यम से यह और भी स्पष्ट हो जाएगा।

प्र. 32768 का घनमूल ज्ञात कीजिए।

व्याख्या: