वर्ग और घन ढूँढना (Finding Squares and Cubes)

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वर्ग और घन ढूँढना (Finding Squares and Cubes)

Overview

इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Finding Squares and Cubes, in Hindi

इस लेख में, हम सीखेंगे कि संख्याओं के वर्ग और घन कैसे ज्ञात करें।

जब हम किसी व्यंजक या संख्या को उसके दूसरे, तीसरे, चौथे ... nthn^{th} घातों को खोजने के लिए स्वयं से गुणा करते हैं, तो हम इसे इनवॉल्यूशन (Involution) कहते हैं। तो, यह एक व्यंजक/संख्या की घातों को खोजने की एक प्रक्रिया है।

उदाहरण के लिए, वर्ग (square), घन (cube), आदि।

नोट

किसी भी संख्या की सम घातें हमेशा सकारात्मक होती हैं।
विषम घातें सकारात्मक या नकारात्मक हो सकती हैं।

Evolution एक व्यंजक/संख्या के मूलों को खोजने की प्रक्रिया है।

मूल एक ऐसी मात्रा है, जिसे जब एक, दो, तीन .... n बार खुद से गुणा किया जाता है, तो दिए गए व्यंजक/संख्या का निर्माण होता है।

उदाहरण के लिए वर्गमूल (square root), घनमूल (cube root), आदि।

किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए, हम उस संख्या को स्वयं से 2 बार गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए, 52=5×5=255^2 = 5 × 5 = 25

किसी संख्या का घन ज्ञात करने के लिए, हम उस संख्या को स्वयं से 3 बार गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए, 53=5×5×5=1255^3 = 5 × 5 × 5 = 125

लेकिन कुछ अन्य तरीके भी हैं जिनका हम उपयोग कर सकते हैं। आइए, नजर डालते हैं उनमें से कुछ पर|

हम दो अंकों और तीन अंकों की संख्याओं का वर्ग ज्ञात करने के लिए इस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: (x+y)2=x2+y2+2xy(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy

हम इसे बड़ी संख्या के लिए भी इस्तेमाल कर सकते हैं, लेकिन गणना थोड़ी कठिन हो जाती है।

प्र. 63263^2 ज्ञात करें

व्याख्या:

हम जानते हैं कि: (x+y)2=x2+y2+2xy(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy

अब, 632=(60+3)2=602+32+2×60×363^2 = (60 + 3)^2 = 60^2 + 3^2 + 2 × 60 × 3 = 3600 + 9 + 360 = 3969

नोट

उपरोक्त गणना को और भी तेज करने के लिए एक वैकल्पिक वैदिक पद्धति भी है।

दी गई संख्या को इस प्रकार लिखें:
632=[63]263^2 = [6 | 3]^2

अब, दी गई संख्या के अंकों पर सूत्र (x+y)2=x2+y2+2xy(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy लागू करें।
तो, [63]2=[622×6×332]=[36369][6 | 3]^2 = [6^2 | 2 × 6 × 3 | 3^2] = [36 | 36 | 9]

मध्य पद 36 है। हम 6 रखेंगे, और 3 को बाईं ओर ले जाएंगे।
तो, [36369]=[3969][36 | 36 | 9] = [39 | 6 | 9] = 3969


प्र. 1142114^2 ज्ञात करें

व्याख्या :

व्याख्या 1: सूत्र विधि का उपयोग करके

हम जानते हैं कि: (x+y)2=x2+y2+2xy(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy

अब, 1142=(100+14)2=1002+142+2×100×14114^2 = (100 + 14)^2 = 100^2 + 14^2 + 2 × 100 × 14 = 10000 + 196 + 2800 = 12996


प्र. 2532253^2 ज्ञात करें

व्याख्या :

व्याख्या 1: सूत्र विधि का उपयोग करके

हम जानते हैं कि: (x+y)2=x2+y2+2xy(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy

अब, 2532=(250+3)2=2502+32+2×250×3253^2 = (250 + 3)^2 = 250^2 + 3^2 + 2 × 250 × 3 = 62500 + 9 + 1500 = 64009


अब, आइए कुछ ऐसी विधियों पर एक नज़र डालें जो हमें किसी संख्या के वर्ग खोजने में मदद करती हैं, लेकिन वे बहुत विशिष्ट प्रकार की संख्याओं पर ही लागू होती हैं।

यदि हमें अंक 5 से समाप्त होने वाली किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करना है, तो हम इसे और भी तेजी से कर सकते हैं। यह काफी आसान है।

अंत में 5 (अर्थात 25) का वर्ग लिखिए और फिर शेष संख्या को उसकी अगली क्रमागत संख्या से गुणा करके 25 के सामने लिखिए।

उदाहरण के लिए, 252=(2×3)25=62525^2 = (2 × 3) | 25 = 6 | 25 = 625
1352=(13×14)25=18225135^2 = (13 × 14) | 25 = 182 | 25 = 18225

ऐसी संख्याओं के वर्ग हम पहले बताई गई विधि से भी ज्ञात कर सकते हैं। लेकिन यदि संख्या बड़ी है, मान लीजिए कि 4-अंकीय लंबी है, तो निम्न विधि हमारी गणना को कम कर देगी और इसलिए परीक्षा हॉल में हमारा कुछ समय बचाएगी।

अंत में 25 का वर्ग (अर्थात 625) लिख दें और फिर शेष संख्या को (संख्या 5) से गुणा करके 25 के सामने लिख दें।

उदाहरण के लिए, 12252=(12×125)625=15006251225^2 = (12 × 125) | 625 = 1500 | 625 = 1500625
16252=(16×165)625=26406251625^2 = (16 × 165) | 625 = 2640 | 625 = 2640625

किसी ऐसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए जिसमें सिर्फ n '1' है, हम प्राकृत संख्याओं को आरोही क्रम में उतनी बार लिखते हैं जितनी बार दी गई संख्या में '1' अंक प्रकट होता है और फिर प्राकृतिक संख्याओं को अवरोही क्रम में लिखते हैं (अंतिम अंक को दोहराए बिना)

उदाहरण के लिए, 11111211111^2 में, हमारे पास पाँच 1 हैं।

  • हम पाँच प्राकृत संख्याओं को आरोही क्रम में लिखेंगे: 12345
  • फिर प्राकृतिक संख्याओं को अवरोही क्रम में लिखें (अंतिम अंक को दोहराए बिना): 4321

अत: 11111 का वर्ग 123454321 होगा

अधिक स्पष्टता के लिए निम्नलिखित पैटर्न पर एक नज़र डालें:

  • 1 का वर्ग = 1
  • 11 का वर्ग = 121
  • 111 का वर्ग = 12321
  • 1111 का वर्ग = 1234321
  • 11111 का वर्ग = 123454321
नोट

किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए जिसमें सिर्फ n '2' हों:

  • हम 2 की घातें निकाल लेते हैं (अर्थात 222^2), ताकि केवल 1 ही बचे

  • अब उस संख्या का वर्ग ज्ञात कीजिए जो पूर्णतः n 1's' से मिलकर बनी है
  • इसे 2 की घात से गुणा करें जो हमने पहले निकाला लिया था

उदाहरण के लिए, 2222222^2 में, हमारे पास तीन 2 हैं।

  • हम 2 की घातें निकाल लेते हैं, ताकि केवल 1 ही बचे: 2222=22×1112222^2 = 2^2 × 111^2

  • पूरी तरह से n '1' से मिलकर बनने वाली संख्या का वर्ग ज्ञात करें: 1112111^2 = 12321

  • इसे 2 की घात से गुणा करें जो हमने पहले निकाला लिया था: 22×123212^2 × 12321 = 4 × 12321 = 49284

हम पूरी तरह से n '4' से मिलकर बनने वाली संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए इसी तरह की प्रक्रिया का पालन करेंगे। वहां बाहर निकाले जाने वाली सामान्य घात 424^2 या 242^4 होगी।

किसी ऐसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए, जिसमें सिर्फ n '3' हों, हम निम्न कार्य करते हैं:

  • अंत में 9 लिखें, और उससे पहले (n - 1) बार 8
  • पिछले चरण में प्राप्त संख्या से पहले एक 0 (शून्य) जोड़ें, और उसके पहले (n - 1) '1'

उदाहरण के लिए, 33333233333^2 में, हमारे पास पाँच 3 हैं।

  • हम अंत में 9 लिखेंगे, और इसके पहले (n - 1) 8's: 88889
  • पिछले चरण में प्राप्त संख्या से पहले एक 0 (शून्य) जोड़ें, और उसके पहले (n - 1) '1': 11110

तो, 99999 का वर्ग 1111088889 होगा

किसी ऐसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए जिसमें सिर्फ n '9' हैं, हम निम्न कार्य करते हैं:

  • (n - 1) '9' लिखिए और उसके बाद 8
  • उसके बाद (n - 1) शून्य जोड़ें, और उसके बाद 1

उदाहरण के लिए, 9999992999999^2 में, हमारे पास पाँच 9 हैं।

  • (n - 1) '9' लिखिए और उसके बाद 8: 99998
  • उसके बाद (n - 1) शून्य जोड़ें, और उसके बाद 1: 00001

तो, 99999 का वर्ग 9999800001 होगा

आइए, अब हम कुछ ऐसे तरीके देखें जो हमें संख्याओं के घनों को शीघ्रता से खोजने में मदद कर सकते हैं।

आइए देखें कि 100 के करीब की संख्याओं के घन कैसे ज्ञात करें।

संख्या को दो भागों में विभाजित करें: उदाहरण के लिए, हम 108 को (100 + 8) के रूप में लिख सकते हैं।

सामान्यीकरण के लिए, हम संख्या को 10a मान सकते हैं, अर्थात 100 + a

इस संख्या का घन तीन भागों में पाया जा सकता है: तीसरा भाग | दूसरा भाग | पहला भाग

  • पहले भाग में 2 अंक होंगे: a3a^3 लिखें

  • दूसरे भाग में 2 अंक होंगे: a2×3a^2 × 3 लिखें

  • तीसरा भाग: 100 + (a × 3)
नोट

पहले भाग में अंकों की संख्या = संख्या के पहले भाग को दो भागों में विभाजित करने के बाद शून्यों की संख्या

उदाहरण के लिए, यदि संख्या 100 के करीब है, तो पहले भाग में 2 अंक होंगे।

अगर संख्या 1000 के करीब है तो पहले भाग में 3 अंक होंगे।

उदाहरण के लिए, 1023102^3 खोजने के लिए, हम इसे (100+2)3(100 + 2)^3 के रूप में लिखेंगे:

  • पहले भाग में 2 अंक होंगे: a3a^3, यानी 232^3 = 8 लिखें। लेकिन क्यूंकि पहले भाग में 2 अंक होने चाहियें, हम इसे 08 के रूप में लिखेंगे।

  • दूसरे भाग में 2 अंक होंगे: a2×3a^2 × 3 लिखें, अर्थात 22×32^2 × 3 = 12

  • तीसरा भाग: 100 + (a × 3), यानी 100 + (2 × 3) = 100 + 6 = 106

तो, हमें मिलता है: 106 | 12 | 08
तो, 1023102^3 = 1061208

आइए एक और उदाहरण देखें।

1083108^3 खोजने के लिए, हम इसे (100+8)3(100 + 8)^3 के रूप में लिखेंगे:

  • पहले भाग में 2 अंक होंगे: a3a^3, यानी 838^3 = 512 लिखें

  • दूसरे भाग में 2 अंक होंगे: a2×3a^2 × 3, यानी 82×38^2 × 3 = 192 लिखें

  • तीसरा भाग: 100 + (a × 3), यानी 100 + (8 × 3) = 100 + 24 = 124

तो, हमें मिलता है: 124 | 192 | 512

लेकिन पहले भाग में केवल 2 अंक हो सकते हैं। इसलिए, हम 12 रखेंगे और 5 को बाईं ओर करेंगे।
तो, हमें मिलता है: 124 | 197 | 12

लेकिन दूसरे भाग में केवल 2 अंक हो सकते हैं। तो, हम 97 रखेंगे और 1 को बाईं ओर करेंगे।
तो, हमें मिलता है: 125 | 97 | 12

तो, 1083108^3 = 1259712

संख्या को दो भागों में विभाजित करें: उदाहरण के लिए, हम 92 को (100 - 8) के रूप में लिख सकते हैं।

सामान्यीकरण के लिए, हम संख्या को 10a, यानी 100 - a ले सकते हैं

इस संख्या का घन तीन भागों में पाया जा सकता है: तीसरा भाग | दूसरा भाग | पहला भाग

  • पहले भाग में 2 अंक होंगे: (a)3(-a)^3 लिखें। चूँकि (-a) एक ऋणात्मक संख्या है, (a)3(-a)^3 भी ऋणात्मक होगा। इसलिए हम इसे सकारात्मक बनाएंगे। (इसके लिए हम दूसरे भाग से 100, 200, 300 आदि लेंगे।)

  • दूसरे भाग में 2 अंक होंगे: a2×3xa^2 × 3 - x लिखें (x = 1 यदि हमने पहले भाग को 100 दिया है, x = 2 यदि हमने पहले भाग को 200 दिया है, आदि)

  • तीसरा भाग: 100 - (a × 3)

उदाहरण के लिए, 98398^3 खोजने के लिए, हम इसे (1002)3(100 - 2)^3 के रूप में लिखेंगे:

  • पहले भाग में 2 अंक होंगे: 100 - 232^3 = 100 - 8 = 92

  • दूसरे भाग में 2 अंक होंगे: 22×312^2 × 3 - 1 = 12 - 1 = 11

  • तीसरा भाग: 100 - (2 × 3) = 100 - 6 = 94

तो, हमें मिलता है: 94 | 11 | 92
तो, (98^3) = 941192

आइए, एक और उदाहरण देखें।

92392^3 खोजने के लिए, हम इसे (1008)3(100 - 8)^3 के रूप में लिखेंगे:

  • पहले भाग में 2 अंक होंगे: 600 - 838^3 = 600 - 512 = 88

  • दूसरे भाग में 2 अंक होंगे: 82×368^2 × 3 - 6 = 192 - 6 = 186

  • तीसरा भाग: 100 - (8 × 3) = 100 - 24 = 76

तो, हमें मिलता है: 76 | 186 | 88

लेकिन दूसरे भाग में केवल 2 अंक हो सकते हैं। इसलिए, हम 86 रखेंगे और 1 को बाईं ओर करेंगे।
तो, हमें मिलता है: 77 | 86 | 88

तो, 98398^3 = 778688

नोट

आदर्श रूप से, आपको 30 तक के वर्ग और 12 तक के घन याद होने चाहियें।

आपके संदर्भ के लिए कुछ तालिकाएँ नीचे दी गई हैं:
Simplification

Simplification


Simplification

Simplification

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