वर्ग और घन ढूँढना (Finding Squares and Cubes)

Overview

इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Finding Squares and Cubes, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• तेज गुणा करने के तरीके
• वर्ग और घन ढूँढना
• वर्गमूल और घनमूल कैसे ज्ञात करें
• सरलीकरण सम्बंधित अवधारणाएं, तरीके और तरकीबें
• घातांक क्या होते हैं?
• करणी क्या होते हैं?
• लघुगणक क्या होते है?

इस लेख में, हम सीखेंगे कि संख्याओं के वर्ग और घन कैसे ज्ञात करें।

इनवॉल्यूशन और इवोल्यूशन क्या होते हैं? (What are Involution and Evolution?)

जब हम किसी व्यंजक या संख्या को उसके दूसरे, तीसरे, चौथे ... \(n^{th}\) घातों को खोजने के लिए स्वयं से गुणा करते हैं, तो हम इसे इनवॉल्यूशन (Involution) कहते हैं। तो, यह एक व्यंजक/संख्या की घातों को खोजने की एक प्रक्रिया है।

उदाहरण के लिए, वर्ग (square), घन (cube), आदि।

नोट

किसी भी संख्या की सम घातें हमेशा सकारात्मक होती हैं।
विषम घातें सकारात्मक या नकारात्मक हो सकती हैं।

Evolution एक व्यंजक/संख्या के मूलों को खोजने की प्रक्रिया है।

मूल एक ऐसी मात्रा है, जिसे जब एक, दो, तीन .... n बार खुद से गुणा किया जाता है, तो दिए गए व्यंजक/संख्या का निर्माण होता है।

उदाहरण के लिए वर्गमूल (square root), घनमूल (cube root), आदि।

वर्ग और घन (Squares and Cubes)

किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए, हम उस संख्या को स्वयं से 2 बार गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए, \(5^2 = 5 × 5 = 25\)

किसी संख्या का घन ज्ञात करने के लिए, हम उस संख्या को स्वयं से 3 बार गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए, \(5^3 = 5 × 5 × 5 = 125\)

लेकिन कुछ अन्य तरीके भी हैं जिनका हम उपयोग कर सकते हैं। आइए, नजर डालते हैं उनमें से कुछ पर|

वर्ग खोजने के विभिन्न तरीके (Various Methods to find Squares)

सूत्र का उपयोग करके वर्ग ढूँढना (Finding Squares using a Formula)

हम दो अंकों और तीन अंकों की संख्याओं का वर्ग ज्ञात करने के लिए इस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: \((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy\)

हम इसे बड़ी संख्या के लिए भी इस्तेमाल कर सकते हैं, लेकिन गणना थोड़ी कठिन हो जाती है।

प्र. \(63^2\) ज्ञात करें

व्याख्या:

हम जानते हैं कि: \((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy\)

अब, \(63^2 = (60 + 3)^2 = 60^2 + 3^2 + 2 × 60 × 3\) = 3600 + 9 + 360 = 3969

नोट

उपरोक्त गणना को और भी तेज करने के लिए एक वैकल्पिक वैदिक पद्धति भी है।

दी गई संख्या को इस प्रकार लिखें:
\(63^2 = [6 | 3]^2\)

अब, दी गई संख्या के अंकों पर सूत्र \((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy\) लागू करें।
तो, \([6 | 3]^2 = [6^2 | 2 × 6 × 3 | 3^2] = [36 | 36 | 9]\)

मध्य पद 36 है। हम 6 रखेंगे, और 3 को बाईं ओर ले जाएंगे।
तो, \([36 | 36 | 9] = [39 | 6 | 9]\) = 3969

प्र. \(114^2\) ज्ञात करें

व्याख्या :
1 2

प्र. \(253^2\) ज्ञात करें

व्याख्या :
1 2

कुछ खास मामले (Some specific cases)

अब, आइए कुछ ऐसी विधियों पर एक नज़र डालें जो हमें किसी संख्या के वर्ग खोजने में मदद करती हैं, लेकिन वे बहुत विशिष्ट प्रकार की संख्याओं पर ही लागू होती हैं।

5 पर समाप्त होने वाली संख्याओं के वर्ग (Squares of numbers ending with 5)

यदि हमें अंक 5 से समाप्त होने वाली किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करना है, तो हम इसे और भी तेजी से कर सकते हैं। यह काफी आसान है।

अंत में 5 (अर्थात 25) का वर्ग लिखिए और फिर शेष संख्या को उसकी अगली क्रमागत संख्या से गुणा करके 25 के सामने लिखिए।

उदाहरण के लिए, \(25^2 = (2 × 3) | 25 = 6 | 25\) = 625
\(135^2 = (13 × 14) | 25 = 182 | 25\) = 18225

25 पर समाप्त होने वाली संख्याओं के वर्ग (Squares of numbers ending with 25)

ऐसी संख्याओं के वर्ग हम पहले बताई गई विधि से भी ज्ञात कर सकते हैं। लेकिन यदि संख्या बड़ी है, मान लीजिए कि 4-अंकीय लंबी है, तो निम्न विधि हमारी गणना को कम कर देगी और इसलिए परीक्षा हॉल में हमारा कुछ समय बचाएगी।

अंत में 25 का वर्ग (अर्थात 625) लिख दें और फिर शेष संख्या को (संख्या 5) से गुणा करके 25 के सामने लिख दें।

उदाहरण के लिए, \(1225^2 = (12 × 125) | 625 = 1500 | 625\) = 1500625
\(1625^2 = (16 × 165) | 625 = 2640 | 625\) = 2640625

ऐसी संख्याओं का वर्ग ज्ञात करना जिनमें केवल 1 है (Squares of numbers having only 1's)

किसी ऐसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए जिसमें सिर्फ n '1' है, हम प्राकृत संख्याओं को आरोही क्रम में उतनी बार लिखते हैं जितनी बार दी गई संख्या में '1' अंक प्रकट होता है और फिर प्राकृतिक संख्याओं को अवरोही क्रम में लिखते हैं (अंतिम अंक को दोहराए बिना)

उदाहरण के लिए, \(11111^2\) में, हमारे पास पाँच 1 हैं।

• हम पाँच प्राकृत संख्याओं को आरोही क्रम में लिखेंगे: 12345
• फिर प्राकृतिक संख्याओं को अवरोही क्रम में लिखें (अंतिम अंक को दोहराए बिना): 4321

अत: 11111 का वर्ग 123454321 होगा

अधिक स्पष्टता के लिए निम्नलिखित पैटर्न पर एक नज़र डालें:

• 1 का वर्ग = 1
• 11 का वर्ग = 121
• 111 का वर्ग = 12321
• 1111 का वर्ग = 1234321
• 11111 का वर्ग = 123454321

नोट

किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए जिसमें सिर्फ n '2' हों:

• हम 2 की घातें निकाल लेते हैं (अर्थात \(2^2\)), ताकि केवल 1 ही बचे

• अब उस संख्या का वर्ग ज्ञात कीजिए जो पूर्णतः n 1's' से मिलकर बनी है
• इसे 2 की घात से गुणा करें जो हमने पहले निकाला लिया था

उदाहरण के लिए, \(222^2\) में, हमारे पास तीन 2 हैं।

• हम 2 की घातें निकाल लेते हैं, ताकि केवल 1 ही बचे: \(222^2 = 2^2 × 111^2\)

• पूरी तरह से n '1' से मिलकर बनने वाली संख्या का वर्ग ज्ञात करें: \(111^2\) = 12321

• इसे 2 की घात से गुणा करें जो हमने पहले निकाला लिया था: \(2^2 × 12321\) = 4 × 12321 = 49284

हम पूरी तरह से n '4' से मिलकर बनने वाली संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए इसी तरह की प्रक्रिया का पालन करेंगे। वहां बाहर निकाले जाने वाली सामान्य घात \(4^2\) या \(2^4\) होगी।

ऐसी संख्याओं का वर्ग जिनमें केवल 3 हैं (Squares of numbers having only 3's)

किसी ऐसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए, जिसमें सिर्फ n '3' हों, हम निम्न कार्य करते हैं:

• अंत में 9 लिखें, और उससे पहले (n - 1) बार 8
• पिछले चरण में प्राप्त संख्या से पहले एक 0 (शून्य) जोड़ें, और उसके पहले (n - 1) '1'

उदाहरण के लिए, \(33333^2\) में, हमारे पास पाँच 3 हैं।

• हम अंत में 9 लिखेंगे, और इसके पहले (n - 1) 8's: 88889
• पिछले चरण में प्राप्त संख्या से पहले एक 0 (शून्य) जोड़ें, और उसके पहले (n - 1) '1': 11110

तो, 99999 का वर्ग 1111088889 होगा

ऐसी संख्याओं का वर्ग जिनमें केवल 9 हैं (Squares of numbers having only 9's)

किसी ऐसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए जिसमें सिर्फ n '9' हैं, हम निम्न कार्य करते हैं:

• (n - 1) '9' लिखिए और उसके बाद 8
• उसके बाद (n - 1) शून्य जोड़ें, और उसके बाद 1

उदाहरण के लिए, \(999999^2\) में, हमारे पास पाँच 9 हैं।

• (n - 1) '9' लिखिए और उसके बाद 8: 99998
• उसके बाद (n - 1) शून्य जोड़ें, और उसके बाद 1: 00001

तो, 99999 का वर्ग 9999800001 होगा

घन ज्ञात करने के विभिन्न तरीके (Various Methods to find Cubes)

आइए, अब हम कुछ ऐसे तरीके देखें जो हमें संख्याओं के घनों को शीघ्रता से खोजने में मदद कर सकते हैं।

100 के करीब की संख्याओं के घन (Cube of a numbers near 100)

आइए देखें कि 100 के करीब की संख्याओं के घन कैसे ज्ञात करें।

100 से थोड़ा ऊपर की संख्याओं के घन (Cubes of numbers a little above 100)

संख्या को दो भागों में विभाजित करें: उदाहरण के लिए, हम 108 को (100 + 8) के रूप में लिख सकते हैं।

सामान्यीकरण के लिए, हम संख्या को 10a मान सकते हैं, अर्थात 100 + a

इस संख्या का घन तीन भागों में पाया जा सकता है: तीसरा भाग | दूसरा भाग | पहला भाग

• पहले भाग में 2 अंक होंगे: \(a^3\) लिखें

• दूसरे भाग में 2 अंक होंगे: \(a^2 × 3\) लिखें

• तीसरा भाग: 100 + (a × 3)

नोट

पहले भाग में अंकों की संख्या = संख्या के पहले भाग को दो भागों में विभाजित करने के बाद शून्यों की संख्या

उदाहरण के लिए, यदि संख्या 100 के करीब है, तो पहले भाग में 2 अंक होंगे।

अगर संख्या 1000 के करीब है तो पहले भाग में 3 अंक होंगे।

उदाहरण के लिए, \(102^3\) खोजने के लिए, हम इसे \((100 + 2)^3\) के रूप में लिखेंगे:

• पहले भाग में 2 अंक होंगे: \(a^3\), यानी \(2^3\) = 8 लिखें। लेकिन क्यूंकि पहले भाग में 2 अंक होने चाहियें, हम इसे 08 के रूप में लिखेंगे।

• दूसरे भाग में 2 अंक होंगे: \(a^2 × 3\) लिखें, अर्थात \(2^2 × 3\) = 12

• तीसरा भाग: 100 + (a × 3), यानी 100 + (2 × 3) = 100 + 6 = 106

तो, हमें मिलता है: 106 | 12 | 08
तो, \(102^3\) = 1061208

आइए एक और उदाहरण देखें।

\(108^3\) खोजने के लिए, हम इसे \((100 + 8)^3\) के रूप में लिखेंगे:

• पहले भाग में 2 अंक होंगे: \(a^3\), यानी \(8^3\) = 512 लिखें

• दूसरे भाग में 2 अंक होंगे: \(a^2 × 3\), यानी \(8^2 × 3\) = 192 लिखें

• तीसरा भाग: 100 + (a × 3), यानी 100 + (8 × 3) = 100 + 24 = 124

तो, हमें मिलता है: 124 | 192 | 512

लेकिन पहले भाग में केवल 2 अंक हो सकते हैं। इसलिए, हम 12 रखेंगे और 5 को बाईं ओर करेंगे।
तो, हमें मिलता है: 124 | 197 | 12

लेकिन दूसरे भाग में केवल 2 अंक हो सकते हैं। तो, हम 97 रखेंगे और 1 को बाईं ओर करेंगे।
तो, हमें मिलता है: 125 | 97 | 12

तो, \(108^3\) = 1259712

100 से थोड़ा नीचे की संख्याओं के घन (Cubes of numbers a little below 100)

संख्या को दो भागों में विभाजित करें: उदाहरण के लिए, हम 92 को (100 - 8) के रूप में लिख सकते हैं।

सामान्यीकरण के लिए, हम संख्या को 10a, यानी 100 - a ले सकते हैं

इस संख्या का घन तीन भागों में पाया जा सकता है: तीसरा भाग | दूसरा भाग | पहला भाग

• पहले भाग में 2 अंक होंगे: \((-a)^3\) लिखें। चूँकि (-a) एक ऋणात्मक संख्या है, \((-a)^3\) भी ऋणात्मक होगा। इसलिए हम इसे सकारात्मक बनाएंगे। (इसके लिए हम दूसरे भाग से 100, 200, 300 आदि लेंगे।)

• दूसरे भाग में 2 अंक होंगे: \(a^2 × 3 - x\) लिखें (x = 1 यदि हमने पहले भाग को 100 दिया है, x = 2 यदि हमने पहले भाग को 200 दिया है, आदि)

• तीसरा भाग: 100 - (a × 3)

उदाहरण के लिए, \(98^3\) खोजने के लिए, हम इसे \((100 - 2)^3\) के रूप में लिखेंगे:

• पहले भाग में 2 अंक होंगे: 100 - \(2^3\) = 100 - 8 = 92

• दूसरे भाग में 2 अंक होंगे: \(2^2 × 3 - 1\) = 12 - 1 = 11

• तीसरा भाग: 100 - (2 × 3) = 100 - 6 = 94

तो, हमें मिलता है: 94 | 11 | 92
तो, (98^3) = 941192

आइए, एक और उदाहरण देखें।

\(92^3\) खोजने के लिए, हम इसे \((100 - 8)^3\) के रूप में लिखेंगे:

• पहले भाग में 2 अंक होंगे: 600 - \(8^3\) = 600 - 512 = 88

• दूसरे भाग में 2 अंक होंगे: \(8^2 × 3 - 6\) = 192 - 6 = 186

• तीसरा भाग: 100 - (8 × 3) = 100 - 24 = 76

तो, हमें मिलता है: 76 | 186 | 88

लेकिन दूसरे भाग में केवल 2 अंक हो सकते हैं। इसलिए, हम 86 रखेंगे और 1 को बाईं ओर करेंगे।
तो, हमें मिलता है: 77 | 86 | 88

तो, \(98^3\) = 778688

नोट

आदर्श रूप से, आपको 30 तक के वर्ग और 12 तक के घन याद होने चाहियें।

आपके संदर्भ के लिए कुछ तालिकाएँ नीचे दी गई हैं: