त्रिभुज से सम्बंधित महत्वपूर्ण प्रमेय और नियम (Important Theorems and Rules of Triangle)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Important Theorems and Rules of Triangle, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• ज्यामिति क्या होती है?
• ज्यामिति में रेखाएं और कोण
• ज्यामिति में त्रिभुज
• त्रिभुज से संबंधित महत्वपूर्ण रेखाएं और बिंदु
• त्रिभुज से सम्बंधित महत्वपूर्ण प्रमेय और नियम
• समरूपता प्रमेय और उनके अनुप्रयोग
• त्रिभुजों की सर्वांगसमता और समरूपता क्या होती हैं?
• त्रिभुज के क्षेत्रफल से सम्बंधित सूत्र और गुण
• चतुर्भुज और उसके गुण
• चतुर्भुज के क्षेत्रफल से सम्बंधित सूत्र और गुण
• समांतर चतुर्भुज और उसके गुण
• समलंब चतुर्भुज और उसके गुण
• बहुभुज और उसके गुण
• वृत्त और उसके गुण
• वृत्त प्रमेय

इस लेख में हम त्रिभुज से संबंधित कुछ महत्वपूर्ण प्रमेयों और नियमों के बारे में अध्ययन करेंगे।

पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem)

किसी समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

\(कर्ण (Hypotenuse)^2 = आधार (Base)^2 + लंब (Perpendicular)^2\)
or \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)

नोट

हम कुछ बहुत ही सामान्य पायथागॉरियन ट्रिपल्स (Pythagorean Triplets) को याद कर सकते हैं। आप इनका सामना बहुत बार करेंगे।

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (30, 40, 50)

हम इस प्रमेय को थोड़ा बदलकर अन्य प्रकार के त्रिभुजों पर भी लागू कर सकते हैं।

अधिक कोण त्रिभुज (Obtuse angled triangle) में:

\(BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2 (AB × AD)\)

न्यूनकोण त्रिभुज (Acute angled triangle) में:

\(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 (AB × AD)\)

माध्यिका संबंधित प्रमेय (Median related Theorems)

प्रमेय 1

∆ABC में, यदि CD माध्यिका है, तो:

\(CA^2 + CB^2 = 2 (CD^2 + AD^2)\)

अब, क्यूंकि AD = BD. तो, हम इसे इस प्रकार भी लिख सकते हैं: \(CA^2 + CB^2 = 2 (CD^2 + BD^2)\)

प्रमेय 2

∆ABC में, यदि AD, BE, CF माध्यिकाएँ (medians) हैं, तो:

\(3 (AB^2 + BC^2 + CA^2) = 4 (AD^2 + BE^2 + CF^2)\)

प्रमेय 3

समकोण ∆ABC में, यदि BE और CF न्यून कोणों (acute angles) से खींची गई माध्यिकाएँ (medians) हैं, तो:

\(4 (BE^2 + CF^2) = 5BC^2\)

अर्थात्, न्यून कोणों से खींची गई माध्यिकाओं के वर्ग के योग का चार गुना, कर्ण के वर्ग के पांच गुना के बराबर होता है (केवल समकोण त्रिभुज के मामले में)।

Sine नियम

साइन नियम, या ज्या नियम किसी भी त्रिभुज की भुजाओं और कोणों को खोजने में बहुत उपयोगी है।

∆ABC में, यदि a, b और c भुजाएँ हैं और A, B और C क्रमशः उनके सम्मुख कोण हैं, तो:

\(\frac{a}{sin \hspace{1ex} A} = \frac{b}{sin \hspace{1ex} B} = \frac{c}{sin \hspace{1ex} C}\)

नोट

हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं, जब:

• दो भुजाएँ और उनमें से एक के सम्मुख कोण दिया गया है।
• दो कोण और उनमें से एक के विपरीत भुजा दी गई है।

Cosine नियम

कोसाइन नियम, या कोज्या नियम किसी भी त्रिभुज की भुजाओं और कोणों को खोजने में बहुत उपयोगी है।

∆ABC में, यदि a, b और c भुजाएँ हैं, और A, B और C क्रमशः उनके सम्मुख कोण हैं, तो:

\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \hspace{1ex} cos A\)
\(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \hspace{1ex} cos B\)
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \hspace{1ex} cos C\)

नोट

हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं, जब:

• तीन भुजाएं दी गयी हैं।
• दो भुजाएँ और उन दोनों भुजाओं के बीच का कोण दिया गया है।

Mass Point Geometry प्रमेय

किसी वस्तु के द्रव्यमान का केंद्र (Centre of mass) वह बिंदु होता है जिस पर वस्तु को संतुलित किया जा सकता है।

यदि द्रव्यमान \(m_1, m_2, m_3,...... m_n\) एक निश्चित बिंदु से क्रमशः \(x_1, x_2, x_3....x_n\) की दूरी पर हैं, तो द्रव्यमान का केंद्र उस निश्चित बिंदु से x की दूरी पर होगा, जहां:

x = \(\frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3 + .....+ m_n x_n}{m_1 + m_2 + m_3 + ..... + m_n}\)

Crossed Ladders प्रमेय

यदि AB ‖ EF ‖ CD और AD & BC, E पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}\)

या c = \(\frac{ab}{a + b}\)

अब, आइए क्रॉस्ड लैडर्स थ्योरम पर आधारित कुछ अन्य प्रमेयों को देखें।

प्रमेय 1

∆ABC में, यदि:

• D, AC भुजा पर है; E, BC भुजा पर है, और AE & BD, M पर प्रतिच्छेद करते हैं
• DD', CC', MM' और EE' समानांतर (parallel) हैं, तो:
  

\(\frac{1}{DD'} + \frac{1}{EE'} = \frac{1}{CC'} + \frac{1}{MM'}\)

प्रमेय 2

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए भी हम Crossed Ladders Theorem का उपयोग कर सकते हैं।

∆ABC में, यदि:

• D, AC भुजा पर है, E, BC भुजा पर है, और AE & BD, M पर प्रतिच्छेद करते हैं
• w ∆ABC का क्षेत्रफल है, और x, y, z छोटे त्रिभुजों के क्षेत्रफल हैं जैसा कि निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है, तो:
  

\(\frac{1}{w} + \frac{1}{x} = \frac{1}{x + y} + \frac{1}{x + z}\)

प्रमेय 3

हम समलम्ब चतुर्भुज (trapezium, एक चतुर्भुज जिसकी दो भुजाएं समानांतर हैं) के मामले में भी क्रॉस्ड लैडर्स थ्योरम लागू कर सकते हैं।

यदि ABCD एक समलंब चतुर्भुज है, इस प्रकार कि:

• इसकी समानांतर भुजाओं की लंबाई क्रमशः a और b इकाई है
• EF समलम्ब चतुर्भुज की समानांतर भुजाओं के समानांतर एक रेखा है, इस प्रकार कि यह समलंब की गैर-समानांतर भुजाओं को m:n के अनुपात में विभाजित करती है, तो:
  

EF की लंबाई = a + m \(\frac{b - a}{m + n}\)

कुछ और प्रमेय

प्रमेय 1

समकोण त्रिभुज ∆ABC में, यदि E और F लंब (perpendicular) और आधार (base) पर कोई बिंदु हैं, तो:

\(BE^2 + CF^2 = BC^2 + EF^2\)