असमानताएं क्या होती हैं? (What are Inequalities?)

Overview

इस लेख में हम रीजनिंग के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Inequalities, in Hindi

असमानता का अर्थ है असमान होने की स्थिति। असमानता आधारित प्रश्नों में 'से कम (less than)', 'से बड़ा (greater than)', 'बराबर (equal to)', 'बराबर नहीं (not equal to)' आदि चिन्हों का उपयोग होता है।

नोट

गणितीय संक्रियाओं से सम्बंधित एक और लेख आप यहाँ पढ़ सकते हैं :

• गणितीय संक्रियाएँ क्या होती हैं ?

विभिन्न प्रकार के प्रश्न

• साधारण असमानताएँ (Simple Inequalities)

• कोडित असमानताएँ (Coded Inequalities)

यहां सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले असमानता चिन्हों की सूची दी गई है:

इसके अलावा, निम्नलिखित पर एक नज़र डालें:

• A ≮ B का मतलब है A ≥ B
• A ≰ B का मतलब है A > B
• A ≯ B का मतलब है A ≤ B
• A ≱ B का मतलब है A < B
• A ≠ B का मतलब है A < B या A > B

आइए, हम उन सभी विभिन्न प्रकार के प्रश्नों को देखें जो इस अध्याय में हमसे पूछे जा सकते हैं।

असमानताओं पर आधारित प्रश्नों के प्रकार (Types of Inequalities based Questions)

प्रकार 1: असमानताओं में दो चरों के बीच संबंध ढूँढना (Finding relation between two variables in Inequalities)

यहां, हम दो प्रकार के प्रश्नों का सामना करेंगे:

• जहाँ एक कथन हो
• जहाँ एक से अधिक कथन हों - ऐसी स्थिति में जहाँ भी संभव हो हमें असमानताओं को जोड़ना होगा।

याद रखने के लिए दो बिंदु, या आप कह सकते हैं कि ऐसे प्रश्नों को हल करने में शामिल दो चरण:

• चरण 1: दो चरों के बीच संबंध केवल तभी निर्धारित किया जा सकता है जब सभी असमानता चिन्ह एक ही दिशा में हों।
• चरण 2: < और > चिन्हों को ≤ और ≥ चिह्नों पर तरजीह दी जाएगी, और इनको = चिह्न पर तरजीह दी जाएगी।

आइए कुछ उदाहरण देखते हैं ...

प्र. यदि A > B > C, तो A और C के बीच संबंध ज्ञात कीजिए।

व्याख्या:

चरण 1: क्या हम A और C के बीच संबंध ज्ञात कर सकते हैं?

A और C के बीच सभी असमानता चिन्ह एक ही दिशा में उन्मुख हैं। इसका मतलब है कि हम A और C के बीच संबंध ज्ञात कर सकते हैं।

चरण 2: A और C के बीच क्या संबंध है?

A और C के बीच दो > चिह्न हैं। अत:, A > C

नोट

हम ऐसे प्रश्नों को A, B, C को अंक देकर भी हल कर सकते हैं। यह हमें कल्पना करने में मदद करता है। या हम इसे अपनी सामान्य समझ का उपयोग करके भी हल कर सकते हैं। आपको वह तरीका अपनाना चाहिए जो आपको सबसे ज्यादा अच्छा लगे।

प्र. यदि A > B ≥ C, तो A और C के बीच संबंध ज्ञात कीजिए।

व्याख्या:

प्र. यदि A ≥ B <C, तो A और C के बीच संबंध ज्ञात कीजिए।

व्याख्या:

Q. कथन: H < J, F < H, I ≤ K = J

निष्कर्ष:
I. H > I
II. I ≤ F

उत्तर दें
(a) यदि केवल निष्कर्ष I सही है
(b) यदि केवल निष्कर्ष II सही है
(c) यदि या तो निष्कर्ष I या II सही है
(d) यदि न तो निष्कर्ष I और न ही II सही है
(e) यदि निष्कर्ष I और II दोनों सही हैं

व्याख्या:

चरण 1: सभी कथनों को मिलाएं

H < J, F < H, I ≤ K = J बन जाएगा:
F < H < J = K और I ≤ K

नोट

दो असमानताओं को तभी जोड़ा जा सकता है, जब उनके बीच एक कड़ी हो। उदाहरण के लिए, H < J और F < H में, H समान था।

चरण 2: नए व्युत्पन्न कथनों की सहायता से दिए गए निष्कर्षों की वैधता की जाँच करें:

I. H > I : अनिश्चित
II. I ≤ F : अनिश्चित

उत्तर: (d)

प्रकार 2: कोडित असमानताओं में दो चरों के बीच संबंध खोजना (Finding relation between two variables in Coded Inequalities)

साधारण असमानताओं के विपरीत, कूटबद्ध असमानताओं में सभी चिह्न (>, <, =, ≥, ≤) कूटबद्ध रूप में होते हैं। यानी वास्तविक प्रतीकों के स्थान पर प्रतिस्थापित प्रतीकों का प्रयोग किया जाता है।

उम्मीदवारों को कोड को वास्तविक संकेतों से बदलना होगा और फिर प्रश्नों को उसी तरह हल करना होगा जैसे साधारण असमानताओं के प्रश्नों को हल किया जाता है।

प्र. निम्नलिखित प्रश्नों में प्रतीकों का प्रयोग इस प्रकार किया गया है।

A©B का अर्थ है A, B से बड़ा है।
A@B का अर्थ है कि A, B से या तो बड़ा है या उसके बराबर है।
A#B का अर्थ है A, B के बराबर है।
A&B का अर्थ है A, B से छोटा है।
A%B का अर्थ है कि A, B से या तो छोटा है या उसके बराबर है।

कथन: P©Q, Q#R, S%R

निष्कर्ष:
I. P@R
II. S&Q

उत्तर दें
(a) यदि केवल निष्कर्ष I सही है
(b) यदि केवल निष्कर्ष II सही है
(c) यदि या तो निष्कर्ष I या II सही है
(d) यदि न तो निष्कर्ष I और न ही II सही है
(e) यदि निष्कर्ष I और II दोनों सही हैं

व्याख्या:

नोट

कुछ छात्रों को निम्नलिखित विकल्प को समझना मुश्किल लगता है: "यदि या तो निष्कर्ष I या II सही है"।

इसका अर्थ है कि वास्तव में एक ही निष्कर्ष सही है (कोई भी सही हो सकता है)। यदि I सही है, तो II गलत होगा, और अगर II सही है, तो I गलत होगा। पर उनमें से एक जरूर सही होगा|

प्रकार 3: प्रतीक प्रतिस्थापन (Symbol Substitution)

Q. यदि > का अर्थ है +, < का अर्थ है -, + का अर्थ है ÷, ^ का अर्थ है ×, - का अर्थ है =, × का अर्थ है >, और = का अर्थ है <, तो निम्नलिखित में से सही कथन का चयन करें:

(a) 13 > 7 < 6 + 2 = 3 ^ 4
(b) 9 > 5 > 4 - 18 + 9 > 16
(c) 9 < 3 < 2 > 1 × 8 ^ 2
(d) 28 + 4 ^ 2 = 6 ^ 4 + 2

 (SSC CGL Question) 

व्याख्या:

प्रकार 4: समीकरण संतुलित करना (Balancing Equations)

प्र. दिए गए समीकरण को संतुलित करने के लिए गणितीय चिह्नों के सही संयोजन का चयन करें:

16 * 4 * 64 * 4

(a) ×, <, ÷  (b) ×, >, ÷  (c) ÷, >, ×  (d) ×, >, +

 (FCI Question) 

व्याख्या: