Linear Equations in Hindi
Overview
इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Linear Equations, in Hindi
समीकरण क्या है?
कोई समीकरण (equation) f(x) = 0 के रूप का व्यंजक होता है। इसमें एक से अधिक चर भी हो सकते हैं।
एक समीकरण में किसी चर (मान लीजिए x) की उच्चतम घात (power) के आधार पर, हमारे पास विभिन्न प्रकार के समीकरण हो सकते हैं।
रैखिक समीकरण - ये प्रथम कोटि के समीकरण होते हैं, जैसे की x वाले समीकरण
द्विघात समीकरण - वे दूसरी डिग्री के समीकरण हैं, जैसे की \(x^2\) वाले समीकरण
घन समीकरण - ये तृतीय डिग्री के समीकरण होते हैं, जैसे की \(x^3\) वाले समीकरण
नोटकिसी समीकरण की डिग्री उस समीकरण में उपस्थित किसी चर की उच्चतम घात होती है, या उन चरों की संयुक्त घात जिन्हें गुणा किया जा रहा हो।
उदाहरण के लिए, y + 3 = 0 की डिग्री 1 है।\(y^2\) + x + 2 = 3 की डिग्री 2 है
\(z^3\) + z - 2 = 0 की डिग्री 3 है।
\(x^3 y^2 + x^2 y\) + y = 0 की डिग्री 3 + 2 = 5 है।
रेखीय समीकरण क्या होता है?
वे पहली डिग्री के समीकरण हैं। उदाहरण के लिए, x + 3 = 1; x + y = 5
एक रैखिक समीकरण में चरों की संख्या के आधार पर, हम उन्हें निम्न प्रकारों में विभाजित कर सकते हैं:
- एक चर के रैखिक समीकरण - जैसे की x + 23 = 21
- दो चरों के रैखिक समीकरण - जैसे की x + 3y = 7
- तीन चरों के रैखिक समीकरण इत्यादि।
एक चर के रैखिक समीकरण
ax + b = 0 के रूप वाले समीकरण, एक चर के रैखिक समीकरण कहलाते हैं। यहाँ, a, b वास्तविक संख्याएँ (real numbers) हैं और a ≠ 0.
उदाहरण के लिए, x + 12 = 21
एक चर के रैखिक समीकरणों को हल करना बहुत आसान है। आइए एक उदाहरण देखें।
नोटn चरों को हल करने के लिए, हमें कम से कम n भिन्न समीकरणों की आवश्यकता है। अतः, 1 चर के लिए हल करने के लिए, हमें केवल 1 समीकरण की आवश्यकता है।
प्रश्न. 4x + 5 = 25 को हल करें
व्याख्या:
4x + 5 = 25
or 4x = 25 - 5 = 20
or x = 20/4 = 5
एक चर के रैखिक समीकरण का ग्राफ
एक चर के किसी रैखिक समीकरण का ग्राफ एक सीधी रेखा होता है, जो एक अक्ष के समानांतर और दूसरे के लंबवत होती है।
उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरण में, समीकरण 4x + 5 = 25 को सरलीकृत करके x = 5 कर दिया गया था। इसे एक ग्राफ पर निम्नानुसार प्लॉट किया जा सकता है:
दो चरों के रैखिक समीकरण
ax + by + c = 0 के रूप के समीकरण दो चरों वाले रैखिक समीकरण कहलाते हैं। यहाँ, a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a, b ≠ 0 हैं।
उदाहरण के लिए, 2x + 3y - 32 = 0
दो चरों में रैखिक समीकरणों को हल करना भी बहुत आसान है। हम दो समीकरणों को इस प्रकार जोड़ते या घटाते हैं कि उनमें से एक चर समाप्त हो जाता है। आइए कुछ उदाहरण देखें।
नोटn चरों को हल करने के लिए, हमें कम से कम n भिन्न समीकरणों की आवश्यकता है। इसलिए, 2 चरों को हल करने के लिए, हमें कम-से-कम 2 अलग-अलग समीकरणों की आवश्यकता है।
प्रश्न. x और y के मान ज्ञात कीजिए।
I. x + 2y = 9
II. x - 2y = 1
व्याख्या:
I. x + 2y = 9
II. x - 2y = 1
समीकरण I और II जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:
2x = 9 + 1 = 10
या x = 10/2 = 5
अब, हम दो समीकरणों में से किसी एक में x का यह मान डालकर y का मान ज्ञात कर सकते हैं। हमें एक ऐसा समीकरण चुनना चाहिए जिससे हमें कम गणना करनी पड़े।
इसलिए, समीकरण II में x का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
5 - 2y = 1
या 2y = 4
या y = 2
प्रश्न. x और y के मान ज्ञात कीजिए।
I. x + 3y = 32
II. 2x - 5y = 20
व्याख्या:
I. x + 3y = 32
II. 2x - 5y = 20
पहले के उदाहरण के विपरीत, यहां हम केवल जोड़ या घटाकर किसी एक विकल्प को समाप्त नहीं कर सकते। हमें किसी एक समीकरण (या दोनों) को इस तरह से गुणा करना होगा कि किसी एक चर का गुणांक दोनों समीकरणों में समान हो जाए।
यहां, हम पहले समीकरण को 2 से गुणा करेंगे। अतः, अब हमारे समीकरण बन जाएंगे:
I. 2x + 6y = 64
II. 2x - 5y = 20
समीकरण I से समीकरण II घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं:
(2x + 6y) - (2x - 5y) = 64 - 20
या 6y + 5y = 44
या 11y = 44
या y = 44/11 = 4
अब, y का मान समीकरण I में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
x + 3y = 32
या x + (3 × 4) = 32
या x + 12 = 32
या x = 32 - 12 = 20
प्रश्न. x और y के मान ज्ञात कीजिए।
I. 4x + 5y = 19
II. 5x + 4y = 8
व्याख्या :
I. 4x + 5y = 19
II. 5x + 4y = 8
हमें किसी एक समीकरण (या दोनों) को इस तरह से गुणा करना होगा कि किसी एक चर का गुणांक दोनों समीकरणों में समान हो जाए।
यहां, हम पहले समीकरण को 4 से और दूसरे समीकरण को 5 से गुणा करेंगे, तो, अब हमारे समीकरण बन जाएंगे:
I. 16x + 20y = 76
II. 25x + 20y = 40
समीकरण I को समीकरण II से घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं:
(25x + 20y) - (16x + 20y) = 40 - 76
या 25x - 16x = -36
या 9x = -36
या x = -36/9 = -4
अब, समीकरण II में x का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
5x + 4y = 8
या 5 × (-4) + 4y = 8
या -20 + 4y = 8
या 4y = 8 + 20 = 28
या y = 28/4 = 7
हम इस पद्धति का उपयोग तब कर सकते हैं, जब x और y के गुणांकों को दो दिए गए समीकरणों में आपस में बदल दिया जाता है (जैसा कि यहाँ है)।
I. 4x + 5y = 19
II. 5x + 4y = 8
समीकरणों को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:
9x + 9y = 19 + 8 = 27
या 9 (x + y) = 27
या x + y = 3
समीकरणों को घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं:
-x + y = 19 - 8 = 11
या y - x = 11
अतः, अब हमने हमें दिए गए मूल समीकरणों से दो सरल समीकरण बना लिए हैं। ये हैं:
III. x + y = 3
IV. y - x = 11
इन दो समीकरणों को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:
2y = 14
या y = 14/2 = 7
अब, y का मान समीकरण IV में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
7 - x = 11
या x = 7 - 11 = -4
इस नियम का उपयोग किसी भी प्रकार के रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए किया जा सकता है। हालाँकि, इसे एक शॉर्टकट तरीका नहीं कहा जा सकता है। पर फिर भी इसपर एक नजर डालें। अगर आपको यह पसंद आता है, तो इसका इस्तेमाल करें।
इस प्रणाली में, हम तीन सारणिक (determinants) बनाते हैं:
- हर (denominator) सारणिक, D
x‐अंश (numerator) सारणिक, \(D_x\)
y‐अंश (numerator) सारणिक, \(D_y\)
हमारे समीकरण हैं:
I. 4x + 5y = 19
II. 5x + 4y = 8
मानक रूप में लिखे गए समीकरणों से x और y के गुणांकों को लेकर हर का सारणिक (D) बनता है।
D = \(\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 4 \end{vmatrix}\) = (4 × 4) - (5 × 5) = 16 - 25 = -9
x-अंश सारणिक (\(D_x\)) समीकरणों से स्थिर पदों को लेकर और उन्हें x-गुणांक स्थितियों में रखकर और y-गुणांक को वहीँ बनाए रखते हुए बनाया जाता है।
\(D_x = \begin{vmatrix} 19 & 5 \\ 8 & 4 \end{vmatrix}\) = (19 × 4) - (8 × 5) = 76 - 40 = 36
y-अंश सारणिक (\(D_y\)) समीकरणों से स्थिर पदों को लेकर और उन्हें y-गुणांक स्थितियों में रखकर और x-गुणांक को वहीँ बनाए रखते हुए बनाया जाता है।
\(D_y = \begin{vmatrix} 4 & 19 \\ 5 & 8 \end{vmatrix}\) = (4 × 8) - (5 × 19) = 32 - 95 = -63
अतः, x = \(\frac{D_x}{D} = \frac{36}{(-9)}\) = -4
y = \(\frac{D_y}{D} = \frac{(-63)}{(-9)}\) = 7
दो चरों के रैखिक समीकरण का ग्राफ
दो चरों वाले रैखिक समीकरण का आलेख भी एक सरल रेखा होता है। इसका ग्राफ बनाने के लिए हमें ऐसे समीकरण के कम से कम दो हल चाहिए।
उदाहरण के लिए, समीकरण 2x + y = 6 के विभिन्न संभावित हल हैं:
| x | 0 | 3 | 1 | ... |
|---|---|---|---|---|
| y | 6 | 0 | 4 | ... |
इसे एक ग्राफ पर निम्नानुसार प्रदर्शित/प्लॉट किया जा सकता है: