बीजगणित क्या होता है? (What is Algebra?)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - What is Algebra?, in Hindi

बीजगणित गणित का एक ऐसा हिस्सा है जहां हम समीकरण/सूत्र/असमानता (equation/formula/inequality) में संख्याओं को निरूपित करने के लिए अक्षरों/प्रतीकों का उपयोग करते हैं, और फिर कुछ नियमों का उपयोग करके उनमें हेरफेर करते हैं।

सममित और असममित व्यंजक (Symmetrical and Unsymmetrical expression)

• असममित व्यंजक (Unsymmetrical expression): यह एक ऐसा व्यंजक है जिसमें सभी चरों (जैसे a, b, c ...) का भार समान नहीं होता है।
  
  

उदाहरण के लिए, \(a + b + c^2, a^2 + b^2 - c^2, a^3 + b^3 + c^2\) आदि

• सममित व्यंजक (Symmetrical expression): यह एक ऐसा व्यंजक है जिसमें सभी चरों (variables) का भार बराबर होता है।
  
  

उदाहरण के लिए, a + b + c, 3a + 3b + 3c, \(a^2 + b^2 + c^2, a^3 + b^3 + c^3\), ab + bc + ca आदि।

इसलिए, किसी सममित व्यंजक में हम चरों की स्थिति को आपस में बदल सकते हैं।

बीजगणित सूत्र (Algebra Formulae)

अब, आइए कुछ बुनियादी सूत्रों पर एक नजर डालते हैं जिनका उपयोग हम इस अध्याय में करने जा रहे हैं।

वर्ग सूत्र (Square Formulae)

वर्ग सूत्र प्रकार 1: दो चर (Two Variables)

\((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = (x – y)^2 + 4xy\)
\((x – y)^2 = x^2 + y^2 – 2xy = (x + y)^2 - 4xy\)

\(x^2 – y^2 = (x + y)(x – y)\)
\(x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy = (x – y)^2 + 2xy\)

\((x + y)^2 + (x – y)^2 = 2(x^2 + y^2)\)
\((x + y)^2 – (x – y)^2 = 4xy\)

वर्ग सूत्र प्रकार 2: तीन चर (Three Variables)

\((x +y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)\)
\((x – y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(–xy – yz + zx)\)
\((x - y – z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(-xy + yz – zx)\)

वर्ग सूत्र प्रकार 3

यदि \((x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2\) = 0, तो x – a = 0, y – b = 0 & z – c = 0
यानी, अगर \(A^2 + B^2 + C^2\) = 0, तो A = B = C = 0

\(A^2 + B^2 + C^2 – AB – BC – CA\) = 0, तो A = B = C

घन सूत्र (Cubic Formulae)

घन सूत्र प्रकार 1: दो चर (Two Variables)

\((x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy (x + y)\)
\((x – y)^3 = x^3 – y^3 – 3xy(x – y)\)

\((x + y)^3 + (x – y)^3 = 2x(x^2 + 3y^2)\)
\((x + y)^3 – (x – y)^3 = 2y(3x^2 + y^2)\)

\(x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 + y^2 – xy) = (x + y)^3 – 3xy (x + y)\)
\(x^3 – y^3 = (x – y) (x^2 + y^2 + xy) = (x – y)^3 + 3xy (x – y)\)

नोट

\(x^n – y^n = (x – y) (x^{n - 1} + x^{n - 2}.y + x^{n - 3}.y^2 + ... + y^{n - 1})\)

घन सूत्र प्रकार 2: तीन चर (Three Variables)

\((x + y + z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x + y) (y + z) (z + x)\)

\(x^3 + y^3 + z^3 – 3 xyz = (x + y + z) (x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx)\)
= \((x + y + z) × \frac{1}{2} [(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2]\)

नोट

जब x + y + z = 0, तो \(x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz\)

फलन और प्रतिलोम फलन सूत्र (Function and Inverse Function Formulae)

प्रकार 1: \(x + \frac{1}{x}\)

यदि \(x + \frac{1}{x}\) = a, तो:

• \(x - \frac{1}{x} = \sqrt{a^2 - 4}\)

• \(x^2 + \frac{1}{x^2} = a^2 - 2\)

• \(x^3 + \frac{1}{x^3} = a^3 - 3a\)

नोट

यदि \(x + \frac{1}{x}\) = 1, तो \(x^3\) = –1.
यदि \(x + \frac{1}{x}\) = -1, तो \(x^3\) = 1

यदि \(x + \frac{1}{x}\) = 2, तो x = 1
यदि \(x + \frac{1}{x}\) = -2, तो x = – 1

यदि \(x + \frac{1}{x} = \sqrt{3}\), तो \(x^6\) = –1

प्रकार 2: \(x - \frac{1}{x}\)

यदि \(x - \frac{1}{x}\) = a, तो:

• \(x + \frac{1}{x} = \sqrt{a^2 + 4}\)

• \(x^2 + \frac{1}{x^2} = a^2 + 2\)

• \(x^3 - \frac{1}{x^3} = a^3 + 3a\)

प्रकार 3: \(x^2 + \frac{1}{x^2}\)

यदि \(x^2 + \frac{1}{x^2}\) = a, तो:

• \(x + \frac{1}{x} = \sqrt{a + 2}\)

• \(x - \frac{1}{x} = \sqrt{a - 2}\)

यदि \(x^2 + \frac{1}{x^2}\) = 1, तो:

• \(x^3 + \frac{1}{x^3}\) = 0 and \(x^6\) = –1

प्रकार 4: उच्च सम घातें (Higher Even Powers)

\(x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2 = [(x - \frac{1}{x})^2 + 2]^2 - 2\)

\(x^6 + \frac{1}{x^6} = (x^3 + \frac{1}{x^3})^2 - 2 = (x^2 + \frac{1}{x^2})^3 - 3(x^2 + \frac{1}{x^2})\)

प्रकार 5: उच्च विषम घातें (Higher Odd Powers)

\(x^5 + \frac{1}{x^5} = (x^2 + \frac{1}{x^2}) (x^3 + \frac{1}{x^3}) - (x + \frac{1}{x})\)

\(x^7 + \frac{1}{x^7} = (x^4 + \frac{1}{x^4}) (x^3 + \frac{1}{x^3}) - (x + \frac{1}{x})\)

\(x^5 - \frac{1}{x^5} = (x^2 + \frac{1}{x^2}) (x^3 - \frac{1}{x^3}) - (x - \frac{1}{x})\)

\(x^7 - \frac{1}{x^7} = (x^4 + \frac{1}{x^4}) (x^3 - \frac{1}{x^3}) + (x - \frac{1}{x})\)

बीजगणित के गुण (Algebra Properties)

गुण 1: बंटन नियम (Distributive law)

x (y + z) = xy + xz

गुण 2: योगांतरानुपात नियम (Componendo and Dividendo)

यदि \(\frac{a}{b} = \frac{x}{y}\), तो \(\frac{a + b}{a - b} = \frac{x + y}{x - y}\)

यदि \(\frac{x + y}{x - y}\) = z, तो , \(\frac{x}{y} = \frac{z + 1}{z - 1}\)