त्रिकोणमितीय सूत्रों की सूची (List of Trigonometric Formulae)

Jan 2, 2022 trigonometry
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त्रिकोणमितीय सूत्रों की सूची (List of Trigonometric Formulae)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - List of Trigonometric Formulae, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

इस लेख में, हम सभी महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय सूत्रों को सूचीबद्ध करने जा रहे हैं। इन्हें याद करने का प्रयास करें।

वस्तुनिष्ठ प्रकार की एप्टीटुड परीक्षाओं के प्रयोजन के लिए, हमें यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि उन्हें कैसे निकाला जाता है। लेकिन हमें उन्हें याद रखना चाहिए और आवश्यकता पड़ने पर सही सूत्र का उपयोग करने की अपनी क्षमता विकसित करनी चाहिए।

sin θ × cosec θ = 1
cos θ × sec θ = 1
tan θ × cot θ = 1

चेतावनी

यदि दो कोण भिन्न हैं (θ ≠ Φ), तो इन सूत्रों को लागू नहीं किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, sin θ × cosec Φ ≠ 1

sin2sin^2 θ + cos2cos^2 θ = 1
sec2sec^2 θ - tan2tan^2 θ = 1
cosec2cosec^2 θ - cot2cot^2 θ = 1

चेतावनी

यदि दो कोण भिन्न हैं (θ ≠ Φ), तो इन सूत्रों को लागू नहीं किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, sin2sin^2 θ + cos2cos^2 Φ ≠ 1

यदि sin θ + cosec θ = 2, तो:
sinnθ+cosecnθsin^n θ + cosec^n θ = 2 (जहाँ n एक प्राकृत संख्या है)

यदि cos θ + sec θ = 2, तो:
cosnθ+secnθcos^n θ + sec^n θ = 2 (जहाँ n एक प्राकृत संख्या है)

यदि tan θ + cot θ = 2, तो:
tannθ+cotnθtan^n θ + cot^n θ = 2 (जहाँ n एक प्राकृत संख्या है)

यदि:
I. a sin θ + b cos θ = c तथा
II. b sin θ – a cos θ = d या a cos θ - b sin θ = d
तो, c2+d2=a2+b2c^2 + d^2 = a^2 + b^2

यदि:
I. sin θ + cos θ = c तथा
II. sin θ – cos θ = d
तो, c2+d2c^2 + d^2 = 2

यदि:
I. a sec θ + b tan θ = c; b sec θ + a tan θ = d, या
II. a sec θ - b tan θ = c; b sec θ - a tan θ = d
तो, a2−b2=c2−d2a^2 - b^2 = c^2 - d^2

यदि:
I. a cosec θ + b cot θ = c; b cosec θ + a cot θ = d, या
II. a cosec θ - b cot θ = c; b cosec θ - a cot θ = d
तो, a2−b2=c2−d2a^2 - b^2 = c^2 - d^2

यदि θ + ɸ = 90°, तो:

sin θ × sec ɸ = 1
या, sin θ = cos ɸ

cos θ × cosec ɸ = 1
या, cos θ = sin ɸ

tan θ × tan ɸ = 1
या, tan θ = cot ɸ

cot θ × cot ɸ = 1
या, cot θ = tan ɸ

यदि θ + ɸ + α = 90°, तो:

(tan θ × tan ɸ) + (tan ɸ × tan α) + (tan α × tan θ) = 1

cot θ + cot ɸ + cot α = cot θ × cot ɸ × cot α

यदि θ + ɸ = 180°, तो:

sin θ × cosec ɸ = 1

यदि θ + ɸ + α = 180° (अर्थात हम एक त्रिभुज की बात कर रहे हैं), तो:

tan θ + tan ɸ + tan α = tan θ × tan ɸ × tan α

(cot θ × cot ɸ) + (cot ɸ × cot α) + (cot θ × cot α) = 1

यदि θ + ɸ = 45° or 225°, तो:

(1 + tan θ) (1 + tan ɸ) = 2

(cot θ - 1) (cot ɸ - 1) = 2, या
(1 - cot θ) (1 - cot ɸ) = 2

यदि θ - ɸ = 45° या 225°, तो:

(1 + tan θ) (1 - tan ɸ) = 2

(1 - cot θ) (1 + cot ɸ) = 2

sin (A ± B) = sin A . cos B ± cos A . sin B

cos (A ± B) = cos A . cos B ∓ sin A . sin B

tan (A ± B) = tanA±tanB1∓tanA.tanB\frac{tan A \hspace{1ex} ± \hspace{1ex} tan B}{1 \hspace{1ex} ∓ \hspace{1ex} tan A \hspace{1ex} . \hspace{1ex} tan B}

cot (A ± B) = cotA.cotB∓1cotA±cotB\frac{cot A \hspace{1ex} . \hspace{1ex} cotB \hspace{1ex} ∓ \hspace{1ex} 1}{cot A \hspace{1ex} ± \hspace{1ex} cot B}

sin (A + B) + sin (A - B) = 2 sin A . cos B
sin (A + B) - sin (A - B) = 2 cos A . sin B
cos (A + B) + cos (A - B) = 2 cos A . cos B
cos (A - B) - cos (A + B) = 2 sin A . sin B

sin 2A – sin 2B = sin (A + B) . sin (A - B)
cos 2A - cos 2B = cos (A + B) . cos (A - B)

sin A + sin B = 2 sin [A+B2\frac{A + B}{2}] . cos [A−B2\frac{A - B}{2}]

sin A – sin B = 2 cos [A+B2\frac{A + B}{2}] . sin [A−B2\frac{A - B}{2}]

cos A + cos B = 2 cos [A+B2\frac{A + B}{2}] . cos [A−B2\frac{A - B}{2}]

cos A – cos B = 2 sin [A+B2\frac{A + B}{2}] . sin [B−A2\frac{B - A}{2}]

sin (2θ) = 2 sin θ cos θ = 2tanθ1+tan2θ\frac{2 \hspace{1ex} tan θ}{1 + tan^2θ}

sin (3θ) = 3sinθ−4sin3θ=sinθ(−1+4cos2θ)3 \hspace{1ex} sin θ - 4 \hspace{1ex} sin^3 θ = sin θ (- 1 + 4 \hspace{1ex} cos^2 θ)

sin (4θ) = cosθ(4sinθ−8sin3θ)=sinθ(−4cosθ+8cos3θ)cos θ (4 \hspace{1ex} sin θ - 8 \hspace{1ex} sin^3 θ) = sin θ (- 4 \hspace{1ex} cos θ + 8 \hspace{1ex} cos^3 θ)

sin (5θ) = 5sinθ−20sin3θ+16sin5θ=sinθ(1−12cos2θ+16cos4θ)5 \hspace{1ex} sin θ - 20 \hspace{1ex} sin^3 θ + 16 \hspace{1ex} sin^5 θ = sin θ (1 - 12 \hspace{1ex} cos^2 θ + 16 \hspace{1ex} cos^4 θ)

cos (2θ) = cos2θ−sin2θ=2cos2θ−1=1−2sin²θ=1−tan²θ1+tan²θcos^2 θ - sin^2 θ = 2 \hspace{1ex} cos^2 θ - 1 = 1 - 2 \hspace{1ex} sin² θ = \frac{1 - tan² θ}{1 + tan² θ}

cos (3θ) = cos3θ−3cosθsin2θ=4cos3θ−3cosθcos^3 θ - 3 \hspace{1ex} cos θ sin^2 θ = 4 \hspace{1ex} cos^3 θ - 3 \hspace{1ex} cos θ

cos (4θ) = cos4θ−6cos2θsin2θ+sin4θ=1−8cos2θ+8cos4θcos^4 θ - 6 \hspace{1ex} cos^2 θ sin^2 θ + sin^4 θ = 1 - 8 \hspace{1ex} cos^2 θ + 8 \hspace{1ex} cos^4 θ

cos (5θ) = cos5θ−10cos3θsin2θ+5cosθsin4θ=5cosθ−20cos3θ+16cos5θcos^5 θ - 10 \hspace{1ex} cos^3 θ sin^2 θ + 5 \hspace{1ex} cos θ sin^4 θ = 5 \hspace{1ex} cos θ - 20 \hspace{1ex} cos^3 θ + 16 \hspace{1ex} cos^5 θ

tan (2θ) = 2tanθ1−tan2θ\frac{2 \hspace{1ex} tan θ}{1 - tan^2 θ}

tan (3θ) = 3tanθ−tan3θ1−3tan2θ\frac{3 \hspace{1ex} tan θ - tan^3 θ}{1 - 3 \hspace{1ex} tan^2 θ}

tan (4θ) = 4tanθ−4tan3θ1−6tan2θ+tan4θ\frac{4 \hspace{1ex} tan θ - 4 \hspace{1ex} tan^3 θ}{1 - 6 \hspace{1ex} tan^2 θ + tan^4 θ}

sin θ . sin(60° - θ) . sin (60° + θ) = 14\frac{1}{4} sin 3θ

cos θ . cos(60° - θ) . cos (60° + θ) = 14\frac{1}{4} cos 3θ

tan θ . tan (60° - θ) . tan (60° + θ) = tan 3θ

cot θ . cot (60° - θ) . cot (60° + θ) = cot 3θ

आरेख:
Trigonometry

Trigonometry

नोट

sec और cosec का मान -∞ से ∞ के बीच कुछ भी हो सकता है। हालाँकि, यह -1 और 1 के बीच नहीं हो सकता (हालाँकि यह -1 और 1 हो सकता है)।

अर्थात्, sec और cosec के मान की range = ∞ - (-1, 1)

  • sinnθcosnθsin^n θ \hspace{1ex} cos^n θ का अधिकतम मान = (1/2)n(1/2)^n

  • sinnθcosnθsin^n θ \hspace{1ex} cos^n θ का न्यूनतम मान = −(1/2)n-(1/2)^n या 0 (यदि n सम है)

  • sinnθ+cosnθsin^n θ + cos^n θ का अधिकतम मान = 1 (हमेशा)

  • sinnθ+cosnθsin^n θ + cos^n θ का न्यूनतम मान तब होगा जब θ = 45°

  • a sin θ ± b cos θ का अधिकतम मान = √(a2+b2)√(a^2 + b^2)

a sin θ ± b cos θ का न्यूनतम मान = – √(a2+b2)√(a^2 + b^2)

  • asin2θ+bcos2θa \hspace{1ex} sin^2 θ + b \hspace{1ex} cos^2 θ का अधिकतम मान = a (यदि a > b) या b (यदि b > a)

  • asin2θ+bcos2θa \hspace{1ex} sin^2 θ + b \hspace{1ex} cos^2 θ का न्यूनतम मान = b (यदि a > b) या a (यदि b > a)

  • asin2θ+bcosec2θa \hspace{1ex} sin^2 θ + b \hspace{1ex} cosec^2 θ का न्यूनतम मान = 2√ab2√ab जब b ≤ a, या a + b, जब b ≥ a

  • acos2θ+bsec2θa \hspace{1ex} cos^2 θ + b \hspace{1ex} sec^2 θ का न्यूनतम मान = 2√ab2√ab जब b ≤ a, या a + b, जब b ≥ a

  • atan2θ+bcot2θa \hspace{1ex} tan^2 θ + b \hspace{1ex} cot^2 θ का न्यूनतम मान = 2√ab2√ab

  • asec2θ+bcosec2θa \hspace{1ex} sec^2 θ + b \hspace{1ex} cosec^2 θ का न्यूनतम मान = (√a+√b)2(√a + √b)^2