संख्या श्रृंखला क्या होती है ? (Number series kya hoti hai ?)

Overview

इस लेख में हम रीजनिंग के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Number series, in Hindi

सीरीज क्या है? (Series kya hoti hai ?)

सीरीज, या श्रृंखला एक विशेष पैटर्न में व्यवस्थित अक्षरों, संख्याओं या दोनों का अनुक्रमिक क्रम है, यानी कुछ विशिष्ट अंतर्निहित नियम हैं जो यह निर्धारित करते हैं कि उस श्रृंखला में कौन से शब्द/संख्या आएंगे।

ये नियम बहुत भिन्न-भिन्न हो सकते हैं - वे गणितीय तर्क पर आधारित हो सकते हैं, या श्रृंखला के तत्वों की प्रकृति या अक्षरों की वर्णमाला में स्थिति, आदि पर आधारित हो सकते हैं। श्रृंखला के प्रश्नों में हमें यही करने की आवश्यकता होती है - अंतर्निहित नियम को समझें। यानी हमें रिवर्स इंजीनियर (reverse engineer) करना है।

नोट

यदि निम्नलिखित में से कोई एक सत्य है, तो श्रृंखला प्रश्न को गलत कहा जा सकता है:

• कोई एक सुसंगत पैटर्न/नियम नहीं है जो उस श्रृंखला के सभी तत्वों को सही ठहरा सके।
• यदि आप 2 या अधिक पैटर्न/नियम ढूंढ लेते हैं, जो अलग-अलग उत्तरों की ओर ले जाते हैं, और वे दोनों उत्तर दिए गए विकल्पों में भी मौजूद हैं।

हालाँकि, निम्नलिखित मामलों में प्रश्न को गलत नहीं कहा जा सकता है:

• केवल एक पैटर्न/नियम है, जो एक ही उत्तर की ओर ले जाता है।
• यदि आप 2 या अधिक पैटर्न/नियम ढूंढ लेते हैं, जो अलग-अलग उत्तरों की ओर ले जाते हैं, लेकिन उनमें से केवल एक ही उत्तर विकल्पों में मौजूद है।
• यदि आप 2 या अधिक पैटर्न/नियम ढूंढ लेते हैं, जो एक ही उत्तर की ओर ले जाते हैं।

श्रृंखला के प्रश्नों के प्रकार (Series Questions kitni tarah ke hote hein ?)

श्रृंखला में, चाहे वह वर्णमाला हो या संख्यात्मक श्रृंखला, आपको दो प्रमुख प्रकार के प्रश्न मिलेंगे:

• लुप्त पद (missing term) ज्ञात कीजिए - लुप्त पद श्रृंखला के अंत में या कहीं मध्य में भी हो सकता है।

• गलत पद (incorrect term) का पता लगाएं - श्रृंखला में एक पद गलत होगा और आपको उस गलत तत्त्व की पहचान करनी होगी, जो श्रृंखला के सामान्य पैटर्न/नियम का पालन नहीं करता है। ये प्रश्न अक्सर लुप्त पद प्रश्नों की तुलना में थोड़े अधिक चुनौतीपूर्ण होते हैं।

श्रंखला के प्रकार

श्रृंखला निम्न प्रकारों में से एक हो सकती है:

• अक्षर श्रृंखला (Letter Series) - इसके बारे में जानने के लिए कृपा करके यह लेख पढ़ें|
• अल्फा - न्यूमेरिक सीरीज (Alpha – Numeric Series) - इसके बारे में जानने के लिए कृपा करके यह लेख पढ़ें|
• संख्या श्रृंखला (Number Series)
• संयुक्त और बहु स्तरीय संख्या श्रृंखला (Combined and Multi-tier Number Series) - इसके बारे में जानने के लिए कृपा करके यह लेख पढ़ें|
• सतत पैटर्न श्रृंखला (Continuous Pattern Series) - इसके बारे में जानने के लिए कृपा करके यह लेख पढ़ें|
• आरेख आधारित संख्या और अक्षर श्रृंखला (Diagram based number and letter series) - इसके बारे में जानने के लिए कृपा करके यह लेख पढ़ें|

इस लेख में हम संख्या श्रृंखलाओं पर प्रकाश डालेंगे|

संख्या श्रृंखला क्या होती है? (Number series क्या होती है ?)

यह संख्याओं का एक क्रम है जो एक विशेष पैटर्न का पालन करता है, यानी एक अंतर्निहित तर्क/नियम है जिसका उस श्रृंखला के सभी तत्वों को पालन करना होता है।

उदाहरण के लिए, 1, 2, 3, 4, 5 ..... (इस श्रृंखला में प्रत्येक बाद की संख्या पिछली संख्या से 1 अधिक है)

नोट

यदि आप संख्याओं के साथ स्वयं को परिचित करा लेते हैं, तो आप ऐसे प्रश्नों को हल करने में अधिक सहज होंगे। इस अध्याय में अच्छा होने के लिए आपको निम्नलिखित बातें पता होनी चाहियें:

• 32 तक वर्ग
• 12 तक घन
• संख्या प्रणाली की कुछ अवधारणाएँ - सम/विषम, अभाज्य संख्याएँ (prime numbers), आदि।
• कुछ अन्य विविध अवधारणाएं, जैसे रोमन नंबर, फाइबोनैचि श्रृंखला (Fibonacci series), आदि।

संख्या श्रृंखला में पूछे जाने वाले प्रश्नों की दो व्यापक श्रेणियां हैं:

• श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए
• श्रृंखला में गलत संख्या ज्ञात कीजिए

आइए, एक-एक करके उनका अध्ययन करें।

संख्या श्रृंखला के प्रकार

संख्या श्रंखला में लुप्त संख्या का पता लगाना

ऐसे प्रश्नों को तैयार करने के लिए विभिन्न तर्कों का उपयोग किया जाता है। हमें उनमें से अधिकांश से परिचित होना चाहिए, ताकि हम परीक्षा के समय में उन्हें पहचान सकें।

प्रकार 1: वही नंबर जोड़ा/घटाया जाता है (Same Number is added/subtracted)

इस प्रकार की श्रृंखला में, दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अंतर समान होता है।

उदाहरण के लिए, 2, 4, 6, 8, 10, ?
इस श्रृंखला में प्रत्येक बाद की संख्या पिछली संख्या से 2 अधिक है। इसलिए, हम श्रृंखला में अगली संख्या प्राप्त करने के लिए हम 2 जोड़ रहे हैं।

नोट

श्रृंखला जो एक दिशा में जोड़ प्रकार की दिखती है, उलटी दिशा में घटाव प्रकार की दिखाई देगी।

उदाहरण के लिए, पिछली श्रृंखला में: 2, 4, 6, 8, 10, ?
यदि हम दाएँ से बाएँ चलते हैं, तो हम कह सकते हैं कि इस श्रृंखला में प्रत्येक अनुवर्ती संख्या पिछली संख्या से 2 कम है। इसलिए, हम श्रृंखला में अगली संख्या प्राप्त करने के लिए 2 घटा रहे हैं।

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

0.5, 2, 3.5, 5, 6.5, 8, ?

(a) 9.5        (b) 10.5          (c) 9.0          (d) 11.0

व्याख्या:

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

110, 107, 104, ?, 98, 95

(a) 102        (b) 105          (c) 100          (d) 101

व्याख्या:

कभी-कभी, आपको किसी अन्य रूप में भी संख्याएँ दी जा सकती हैं, जैसे की रोमन अंक। तो, आपको उनसे भी परिचित होना चाहिए।

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

II, V, VIII, XI, XIV, ?, XX

(a) XVI        (b) XVII          (c) XV          (d) XIX

व्याख्या:

कभी-कभी, दो संख्याओं को अदल-बदल करके जोड़ा/घटाया जा सकता है।

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

30, 28, 23, 21, ?

(a) 17        (b) 16          (c) 19          (d) 15

व्याख्या:

प्रकार 2: जोड़ी/घटाई गई संख्या लगातार बढ़ती/घटती रहती है (Number added/subtracted is constantly increased/decreased)

इस प्रकार की श्रृंखला में, प्रत्येक पद में जोड़ी या घटाई गई संख्या बढ़ते या घटते क्रम में होती है।

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

3, 5, 8, 12, 17, ?

(a) 25        (b) 23          (c) 19          (d) 21

व्याख्या:

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

30, 24, 19, 15, ?

(a) 13        (b) 11          (c) 12          (d) 10

व्याख्या:

प्रकार 3: समान संख्या से गुणा/विभाजन किया जाता है (Same Number is multiplied/divided)

इस प्रकार की श्रृंखला में, दो क्रमागत संख्याओं का अनुपात समान होता है। अर्थात्, हम श्रृंखला में अगला तत्व प्राप्त करने के लिए पिछले तत्व को एक ही संख्या से विभाजित या गुणा करते हैं।

जो श्रृंखला एक दिशा में गुणन प्रकार की दिखती है, वही दूसरी दिशा में विभाजन प्रकार की दिखाई देगी।

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

4, 12, 36, 108, ?

(a) 180        (b) 324          (c) 264          (d) 216

व्याख्या:

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

168, 84, 42, 21, ?

(a) 11        (b) 9.5          (c) 10          (d) 10.5

व्याख्या:

दी गई अवरोही श्रृंखला में, दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अनुपात 2 है। इसलिए, यह मूल रूप से एक साधारण विभाजन श्रृंखला है, यदि इसे बाएं से दाएं देखा जाए।

पैटर्न (Pattern):
168 ÷ 2 = 84
84 ÷ 2 = 42
42 ÷ 2 = 21
21 ÷ 2 = 10.5

नोट

छोटी संख्याओं से निपटना आसान है। इसलिए, पैटर्न को समझने के लिए, हम ऊपर दी गई श्रृंखला में दाईं ओर से शुरू कर सकते हैं। यह ज्यादा आसान रहेगा|

उत्तर: (d)

कभी-कभी, दो संख्याओं को अदल-बदल करके गुणा/भाग किया जा सकता है।

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

24, 6, 18, 9, 36, 9, 24, ?

(a) 12        (b) 8          (c) 6          (d) 30

(SSC Question)

व्याख्या:

प्रकार 4: बढ़ते क्रम में गुणा / भाग (Increasing order Multiplication / Division)

इस प्रकार की श्रृंखला में, अगले तत्व को प्राप्त करने के लिए, तत्वों को बढ़ते/घटते क्रम में संख्याओं से गुणा या विभाजित किया जाता है।

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

3, 3, 4.5, 9, 22.5, ?

(a) 24        (b) 27.5          (c) 67.5          (d) 37.5

व्याख्या:

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

720, ?, 36, 12, 6, 6

(a) 108        (b) 144          (c) 360          (d) 72

(SSC Question)

व्याख्या:

पैटर्न (Pattern):
720 ÷ 5 = 144
144 ÷ 4 = 36
36 ÷ 3 = 12
12 ÷ 2 = 6
6 ÷ 1 = 6

नोट

छोटी संख्याओं से निपटना आसान है। इसलिए, पैटर्न को समझने के लिए, हम दी गई श्रृंखला में दाईं ओर से शुरू कर सकते हैं। साथ ही, चूंकि लापता संख्या श्रृंखला में शुरुआत की तरफ है, इसलिए इस श्रृंखला को दाएं से बाएं देखना ज्यादा बेहतर रहेगा।

दाएं से बाएं देखा जाए, तो यह श्रृंखला एक आरोही गुणन श्रृंखला (ascending multiplication series) होगी।

उत्तर: (c)

प्रकार 5: मिश्रित श्रृंखला (Mixed Series)

ऐसी श्रृंखला में, हम कई ऑपरेटरों के मिश्रण को देखते हैं। अर्थात्, पूरी श्रृंखला में केवल एक जोड़, घटाव, गुणा या भाग संकारक का उपयोग करने के बजाय, हम उनके मिश्रण का उपयोग करते हैं। तो, जाहिर है कि कठिनाई का स्तर बढ़ जाता है।

आइए, कुछ उदाहरण देखें।

प्रकार 5a: समान गुणा, समान जोड़ (Same multiplication, Same addition)

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

5, 11, 23, 47, 95, ?

(a) 185        (b) 191          (c) 192          (d) 188

व्याख्या:

अगली संख्या = पिछली संख्या × 2 + 1

पैटर्न (Pattern):
(5 × 2) + 1 = 11
(11 × 2) + 1 = 23
(23 × 2) + 1 = 47
(47 × 2) + 1 = 95
(95 × 2) + 1 = 191

नोट

इसे देखने का दूसरा तरीका यह है:

श्रृंखला में तत्वों के बीच अंतर हैं:
6, 12, 24, 48, 96
(यानी अंतर हर बार दोगुना हो जाता है)

उत्तर: (a)

प्रकार 5b: समान गुणन, बढ़ता योग (Same multiplication, Increasing addition)

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

5, 11, 24, 51, 106, ?

(a) 178        (b) 217          (c) 185          (d) 191

व्याख्या:

प्रकार 5c: बढ़ता गुणा, समान जोड़ (Increasing multiplication, Same addition)

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

3, 6, 15, 48, ?

(a) 110        (b) 99          (c) 195          (d) 191

व्याख्या:

प्रकार 5d: बढ़ता गुणा, बढ़ता जोड़ (Increasing multiplication, Increasing addition)

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

4, 5, 12, 39, 160, ?

(a) 325        (b) 805          (c) 555          (d) 705

व्याख्या:

प्रकार 5e: समान गुणा, समान घटाव (Same multiplication, Same subtraction)

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

4, 5, 7, 11, 19, 35, ?

(a) 55        (b) 62          (c) 67          (d) 71

व्याख्या:

अगला तत्व = पिछला तत्व × 2 – 3

पैटर्न (Pattern):
(4 × 2) – 3 = 5
(5 × 2) – 3 = 7
(7 × 2) – 3 = 11
(11 × 2) – 3 = 19
(19 × 2) – 3 = 35
(35 × 2) – 3 = 67

नोट

इसे देखने का दूसरा तरीका भी है:

श्रृंखला में तत्वों के बीच अंतर हैं:
1, 2, 4, 8, 16, 32
(यानी अंतर हर बार दोगुना हो जाता है)

उत्तर: (c)

प्रकार 5f: समान गुणा, बढ़ता घटाव (Same multiplication, Increasing subtraction)

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

4, 7, 12, 21, 38, ?

(a) 71        (b) 67          (c) 78          (d) 81

व्याख्या:

प्रकार 5g: बढ़ता गुणा, समान घटाव (Increasing multiplication, Same subtraction)

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

4, 6, 16, 62, ?

(a) 128        (b) 108          (c) 288          (d) 308

व्याख्या:

प्रकार 5h: बढ़ता गुणा, बढ़ता घटाव (Increasing multiplication, Increasing subtraction)

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

3, 5, 13, 49, ?

(a) 98        (b) 241          (c) 102          (d) 159

व्याख्या:

प्रकार 5i: ऑपरेटरों का अदल-बदल करके उपयोग (Alternate usage of operators)

कभी-कभी, हम जोड़ और घटाव का अदल-बदल करके उपयोग करते हैं।

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

5, 11, 21, 43, 85, ?

(a) 169        (b) 167          (c) 171          (d) 165

(SSC CGL Question)

व्याख्या:

इसी तरह, कभी-कभी हम गुणा और भाग का अदल-बदल करके उपयोग करते हैं।

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

24, 72, 36, 108, 54, ?

(a) 98        (b) 27          (c) 108          (d) 162

व्याख्या:

प्रकार 6: वर्ग / घन / मूल श्रृंखला (Square / Cube / Root Series)

इस प्रकार की श्रृंखला में, प्रत्येक तत्व एक निश्चित क्रम में किसी संख्या का वर्ग, घन या मूल होता है।

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

4, 9, 16, 25, 36, ?

(a) 48        (b) 49          (c) 42          (d) 64

व्याख्या:

पैटर्न (Pattern):

$2^2$ = 4
$3^2$ = 9
$4^2$ = 16
$5^2$ = 25
$6^2$ = 36
$7^2$ = 49

नोट

इसे देखने का दूसरा तरीका भी है:

श्रृंखला में तत्वों के बीच अंतर हैं:
5, 7, 9, 11, 13
(अर्थात अंतर समान्तर श्रेढ़ी, या Arithmetic Progression में हैं)

उत्तर: (b)

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

8, 27, 64, 125, ?

(a) 216        (b) 224          (c) 169          (d) 286

व्याख्या:

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

256, 16, 4, ?

(a) 6        (b) 8          (c) 2          (d) 1

(SSC LDC Question)

व्याख्या:

प्रकार 7: वर्ग / घन / मूल जोड़ श्रृंखला (Square / Cube / Root Addition Series)

इस प्रकार की श्रृंखला में, अगला तत्व प्राप्त करने के लिए एक विशेष तरीके से पिछले तत्व में संख्याओं का वर्ग/घन/मूल जोड़ा जाता है।

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

2, 3, 7, 16, 32, ?

(a) 53        (b) 39          (c) 49          (d) 57

व्याख्या:

Typप्रकारe 8: Prime Number Series

इस प्रकार की श्रृंखला में, प्रत्येक तत्व निश्चित क्रम में एक अभाज्य संख्या होता है।

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

2, 3, 5, 7, 11, ?

(a) 15        (b) 19          (c) 13          (d) 21

व्याख्या:

प्रकार 9: अंकों के हेरफेर पर आधारित संख्या श्रृंखला (Digital Manipulation based Number Series)

इस प्रकार की श्रृंखला में, श्रृंखला के अगले तत्व को प्राप्त करने के लिए प्रत्येक संख्या के अंकों को एक निश्चित तरीके से बदला जाता है।

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

88, 64, 24, ?

(a) 12        (b) 8          (c) 16          (d) 15

व्याख्या:

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

121, 222, 424, ?

(a) 848        (b) 888          (c) 828          (d) 818

(SSC CGL Question)

व्याख्या:

प्रकार 10: दूसरे तत्वों से प्राप्त तत्व (Few elements derived from others)

इस प्रकार की श्रृंखला में, कुछ या सभी संख्याएँ तब प्राप्त होती हैं, जब दो या अधिक अन्य तत्वों को एक निश्चित तरीके से संचालित (operate) किया जाता है।

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

4, 24, 6, 48, 8, 80, ?

(a) 8        (b) 88          (c) 2          (d) 10

व्याख्या:

प्रश्न. निम्नलिखित श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए:

2, 5, 7, 12, 19, 31, ?, 81

(a) 50        (b) 45          (c) 43          (d) 53

(SSC CGL Question)

व्याख्या:

संख्या श्रृंखला में गलत संख्या ढूँढना (Finding Wrong Number in the Number series)

उम्मीदवार को दी गई श्रृंखला के निर्माण में शामिल पैटर्न की पहचान करने, और फिर उस संख्या का पता लगाने की आवश्यकता होती है, जो श्रृंखला के उस विशिष्ट पैटर्न का पालन नहीं करती है।

प्र. निम्नलिखित श्रृंखला में गलत संख्या ज्ञात कीजिए:

102, 101, 98, 93, 86, 74, 66, 53

(a) 66        (b) 74          (c) 70          (d) 54

(SSC CGL Question)

व्याख्या:

संख्या श्रृंखला – ख़तरा?

कुछ प्रश्नों में प्रयुक्त अंतर्निहित अवधारणा को समझना एक कठिन कार्य साबित हो सकता है। इसलिए, परीक्षा में आपको निम्नलिखित रणनीति अपनानी चाहिए, जब श्रृंखला के प्रश्नों को हल करने की बात आती है (विशेष रूप से संख्या श्रृंखला के मामले में):

• श्रृंखला पढ़ें और देखें कि क्या कोई पैटर्न स्पष्ट है।

• अगर नहीं तो किसी भी हाल में 1 मिनट से ज्यादा समय बर्बाद न करें। आगे के प्रश्न हल करें …

• पेपर के दूसरे दौर में वापस आएं, और उस प्रश्न को हल करने का एक बार फिर प्रयास करें।