निर्देशांक ज्यामिति - चतुर्भुज (Coordinate Geometry - Quadrilateral)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Quadrilaterals, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• निर्देशांक ज्यामिति क्या होती है?
• निर्देशांक ज्यामिति में निर्देशांक और बिंदुओं की स्थिति ढूँढना
• रेखाओं का समीकरण
• निर्देशांक ज्यामिति - दो रेखाएं
• त्रिभुज
• चतुर्भुज
• वृत्त का समीकरण
• बिंदु का प्रतिबिंब

चतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area of a Quadrilateral)

हम एक चतुर्भुज (अर्थात समचतुर्भुज/Rhombus, आयत/Rectangle, वर्ग/Square, समांतर चतुर्भुज/Parallelogram, पतंग/Kite, समलंब/Trapezium, आदि) का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं यदि हम इसके शीर्षों के निर्देशांक जानते हैं। आइए देखें कैसे।

यदि एक चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A (\(x_1\), \(y_1\)), B (\(x_2\), \(y_2\)), C (\(x_3\), \(y_3\)), और D (\(x_4\), \(y_4\)) हैं, तो:

आरेख:

चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} |(x_1 y_2 – x_2 y_1) + (x_2 y_3 – x_3 y_2) + (x_3 y_4 – x_4 y_3) + (x_4 y_1 – x_1 y_4)|\)

नोट

हमने उपरोक्त सूत्र में मापांक चिह्न (modulus signs) रखे हैं, क्योंकि एक चतुर्भुज का (या किसी अन्य आकृति का) क्षेत्रफल कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता है।

वास्तव में, हम किसी भी बहुभुज के लिए उपरोक्त सूत्र का सामान्यीकरण कर सकते हैं।

यदि हमारे पास एक बहुभुज (polygon) है, जिसके शीर्ष हैं (\(x_1\), \(y_1\)), (\(x_2\), \(y_2\)), (\(x_3\), \(y_3\)) .... (\(x_n\), \(y_n\)), तो:

बहुभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} |(x_1 y_2 – x_2 y_1) + (x_2 y_3 – x_3 y_2) + (x_3 y_4 – x_4 y_3) + .... + (x_{n - 1} y_n – x_n y_{n - 1}) + (x_n y_1 – x_1 y_n)|\)