चतुर्भुज और उसके गुण (Quadrilateral and its properties)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Quadrilateral and its properties, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• ज्यामिति क्या होती है?
• ज्यामिति में रेखाएं और कोण
• ज्यामिति में त्रिभुज
• त्रिभुज से संबंधित महत्वपूर्ण रेखाएं और बिंदु
• त्रिभुज से सम्बंधित महत्वपूर्ण प्रमेय और नियम
• समरूपता प्रमेय और उनके अनुप्रयोग
• त्रिभुजों की सर्वांगसमता और समरूपता क्या होती हैं?
• त्रिभुज के क्षेत्रफल से सम्बंधित सूत्र और गुण
• चतुर्भुज और उसके गुण
• चतुर्भुज के क्षेत्रफल से सम्बंधित सूत्र और गुण
• समांतर चतुर्भुज और उसके गुण
• समलंब चतुर्भुज और उसके गुण
• बहुभुज और उसके गुण
• वृत्त और उसके गुण
• वृत्त प्रमेय

इस लेख में हम चतुर्भुज और उसके गुणों के बारे में अध्ययन करेंगे।

चतुर्भुज क्या होता है? (What is a Quadrilateral?)

चतुर्भुज एक द्वि-आयामी संलग्न आकृति (two-dimensional enclosed figure) है, जो एक समतल पर चार बिंदुओं को मिलाने से बनती है।

अत: एक चतुर्भुज में चार शीर्ष (vertices) और चार भुजाएँ होती हैं।

चतुर्भुज के कुछ उदाहरण हैं: समांतर चतुर्भुज (Parallelogram), समलंब चतुर्भुज (Trapezium), पतंग (Kite), आदि।

चतुर्भुज के प्रकार (Types of Quadrilaterals)

समांतर चतुर्भुज (Parallelogram)

यह एक चतुर्भुज है, जिसमें समानांतर भुजाओं के दो जोड़े होते हैं।

• एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समानांतर होती हैं और समान लंबाई की होती हैं।
• समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं। अर्थात्, ∠ A = ∠ C; ∠ B = ∠ D

समांतर चतुर्भुज कई प्रकार के होते हैं, जैसे समचतुर्भुज (Rhombus), आयत (Rectangle), वर्ग (Square)। हम इनके बारे में एक अलग लेख में और अधिक विस्तार से अध्ययन करेंगे।

समलंब चतुर्भुज (Trapezium)

यह एक चतुर्भुज है, जिसमें समानांतर भुजाओं की एक जोड़ी होती है।

उपरोक्त आकृति में, AB ∥ CD

नोट

समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज (Isosceles trapezium) - एक समलंब जिसकी गैर-समानांतर भुजाएँ बराबर होती हैं।
अर्थात्, AB ∥ CD और BC = AD

पतंग (Kite)

यह एक चतुर्भुज है, जिसमें आसन्न भुजाओं के दो जोड़े बराबर होते हैं।

उपरोक्त आकृति में, AB = AD, और CB = CD

नोट

• पतंग, समांतर चतुर्भुज (parallelogram) नहीं है।

• वर्ग और समचतुर्भुज (Square and Rhombus), समांतर चतुर्भुज और पतंग दोनों होते हैं।

चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic Quadrilateral)

चक्रीय चतुर्भुज एक प्रकार का चतुर्भुज है, जिसके सभी शीर्ष एक वृत्त की परिधि पर स्थित होते हैं।

स्पर्श रेखीय चतुर्भुज (Circumscribed Quadrilateral)

स्पर्श रेखीय चतुर्भुज (Circumscribed Quadrilateral or Tangential quadrilateral) एक उत्तल (convex) चतुर्भुज है, जिसकी चारों भुजाएँ इसके भीतर स्तिथ एक ही वृत्त की स्पर्शरेखा हैं। इसलिए इसे स्पर्शरेखा चतुर्भुज भी कहते हैं।

चतुर्भुज के गुण (Properties of Quadrilaterals)

आइए, सभी प्रकार के चतुर्भुजों द्वारा साझा किए गए कुछ गुणों को देखें।

गुण 1: कोण योग (Angle Sum)

एक चतुर्भुज के चारों अंतः कोणों (interior angles) का योग 360° होता है।
उपरोक्त चतुर्भुज में, ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360°

इसी प्रकार, चतुर्भुज के चारों बाह्य कोणों (exterior angles) का योग भी 360° होता है।

गुण 2

यदि हम किसी चतुर्भुज की चारों भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिला दें, तो हमें एक समांतर चतुर्भुज (parallelogram) प्राप्त होता है। इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल मूल चतुर्भुज का आधा होगा।

उपरोक्त आकृति में, चतुर्भुज □ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने पर, हमें एक समांतर चतुर्भुज PQRS प्राप्त होता है।

समांतर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × □ABCD का क्षेत्रफल

नोट

यदि हम किसी समांतर चतुर्भुज (parallelogram) की चारों भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिला दें, तो हमें एक और समांतर चतुर्भुज प्राप्त होता है। इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल मूल समांतर चतुर्भुज का आधा होगा।

यह स्वाभाविक है, क्योंकि एक समांतर चतुर्भुज भी तो आखिर एक चतुर्भुज ही होता है।

गुण 3

किन्हीं दो क्रमागत कोणों (consecutive angles) के समद्विभाजक द्वारा बनाया गया कोण = अन्य दो कोणों के योग का आधा

उपरोक्त आकृति में, ∠AOB = \(\frac{1}{2}\) × (∠C + ∠D)

गुण 4

आंतरिक विपरीत कोणों (अंत सम्मुख कोणों, interior opposite angles) के एक युग्म का योग = अन्य दो बाहरी विपरीत कोणों (बाह्य सम्मुख कोणों, exterior opposite angles) के युग्म का योग

उपरोक्त आकृति में, ∠x° + ∠y° = ∠p° + ∠q°

गुण 5

किन्हीं दो आसन्न भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड समांतर होता है, और संगत विकर्ण (corresponding diagonal) के आधे के बराबर होता है।

उपरोक्त आकृति में, PQ ∥ AC और PQ = \(\frac{1}{2}\) × AC

नोट

यह Thales प्रमेय (या Basic proportionality प्रमेय) का एक अनुप्रयोग है, जिसे हमने त्रिभुज के लेख में पढ़ा था।

गुण 6

एक चतुर्भुज का परिमाप (Perimeter) हमेशा उसके विकर्णों के योग से बड़ा होता है।

उपरोक्त आकृति में, AB + BC + CD + DA > AC + BD

पतंगों के गुण (Properties of Kites)

गुण 1: विकर्ण (Diagonals)

एक पतंग के विकर्ण 90° पर प्रतिच्छेद करते हैं, और छोटे विकर्ण को लंबे विकर्ण द्वारा समद्विभाजित किया जाता है।

चक्रीय चतुर्भुज के गुण (Properties of Cyclic Quadrilaterals)

गुण 1: विपरीत कोणों का योग (Sum of Opposite angles)

किसी भी चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों के किसी भी युग्म का योग = 180° होता है।

यानी, ∠A + ∠C = 180°
और, ∠B + ∠D = 180°

गुण 2

यदि एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD के दो विकर्ण एक दूसरे को बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो:

AP × PC = DP × PB

गुण 3: वर्ग (Square) के मामले में

उत्कीर्ण वर्ग (inscribed square) का विकर्ण = वृत्त का व्यास

स्पर्श रेखीय चतुर्भुज के गुण (Properties of Circumscribed Quadrilaterals)

गुण 1

एक स्पर्श रेखीय चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है।

उपरोक्त आकृति में, AB + CD = BC + AD

गुण 2: वर्ग (Square) के मामले में

स्पर्श रेखीय वर्ग की भुजा = उत्कीर्ण वृत्त (inscribed circle) का व्यास