निर्देशांक ज्यामिति - एक बिंदु का प्रतिबिंब (Coordinate Geometry - Reflection of a Point)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Reflection of a Point, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• निर्देशांक ज्यामिति क्या होती है?
• निर्देशांक ज्यामिति में निर्देशांक और बिंदुओं की स्थिति ढूँढना
• रेखाओं का समीकरण
• निर्देशांक ज्यामिति - दो रेखाएं
• त्रिभुज
• चतुर्भुज
• वृत्त का समीकरण
• बिंदु का प्रतिबिंब

परावर्तन क्या है? (What is Reflection?)

परावर्तन एक ऐसी घटना है, जिसमें किसी आकृति (एक बिंदु, रेखा, आदि) को परावर्तन रेखा (आमतौर पर एक दर्पण) पर फ़्लिप करके अपनी दर्पण छवि (mirror image) में बदल दिया जाता है।

परावर्तन रेखा (line of reflection) से किसी बिंदु के प्रतिबिम्ब की दूरी = परावर्तन रेखा से मूल बिंदु की दूरी

नोट

यदि कोई बिंदु परावर्तन रेखा पर स्थित है, तो उस बिंदु की छवि उसी स्थान पर बनेगी जहां मूल बिंदु स्थित है।

अर्थात किसी बिंदु के प्रतिबिम्ब की परावर्तन रेखा से दूरी = परावर्तन रेखा से मूल बिंदु की दूरी = 0

निर्देशांक तल में प्रतिबिंब (Reflections in the Coordinate plane)

बिंदु P(x, y) का X-अक्ष पर परावर्तन {Reflection of a point P(x, y) on X-axis}

यदि कोई बिंदु P(x, y) X-अक्ष (अर्थात y = 0) पर परावर्तित होता है, तो उसके प्रतिबिम्ब P' के निर्देशांक (x, -y) होंगे।

नोट

रेखा y = b पर बिंदु P(x, y) का परावर्तन {Reflection of a point P(x, y) over the line y = b}

यदि एक बिंदु P(x, y) रेखा y = b (जहाँ b एक अचर है) पर परावर्तित होता है, तो उसके प्रतिबिम्ब P' के निर्देशांक (x, 2b - y) होंगे।

बिंदु P(x, y) का Y-अक्ष पर परावर्तन {Reflection of a point P(x, y) on Y-axis}

यदि कोई बिंदु P(x, y) Y-अक्ष (अर्थात x = 0) पर परावर्तित होता है, तो उसके प्रतिबिम्ब P' के निर्देशांक (-x, y) होंगे।

नोट

रेखा x = a पर बिंदु P(x, y) का परावर्तन {Reflection of a point P(x, y) over the line x = a}

यदि एक बिंदु P(x, y) रेखा x = a (जहाँ a एक स्थिरांक है) पर परावर्तित होता है, तो इसके प्रतिबिंब P' के निर्देशांक (-x + 2a, y) होंगे।

मूल निर्देशांक पर एक बिंदु P(x, y) का परावर्तन {Reflection of a point P(x, y) over the Origin}

यदि एक बिंदु P(x, y) मूल निर्देशांक (0, 0) पर परावर्तित होता है, तो इसके प्रतिबिंब P' के निर्देशांक (-x, -y) होंगे।

रेखा y = x पर एक बिंदु P(x, y) का परावर्तन {Reflection of a point P(x, y) over the line y = x}

यदि एक बिंदु P(x, y) रेखा y = x पर परावर्तित होता है, तो उसके प्रतिबिम्ब P' के निर्देशांक (y, x) होंगे।

रेखा y = -x पर एक बिंदु P(x, y) का परावर्तन {Reflection of a point P(x, y) over the line y = -x}

यदि एक बिंदु P(x, y) रेखा y = -x पर परावर्तित होता है, तो उसके प्रतिबिम्ब P' के निर्देशांक (-y, -x) होंगे।

Summary

यहाँ उपरोक्त बिंदुओं को सारांशित करते हुए एक तालिका दी गई है।