शेष प्रमेय (Remainder Theorems)

Overview

इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Remainder Theorems, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• गणित में संख्याओं के प्रकार
• क्रमागत संख्याएं क्या होती हैं?
• भिन्न क्या होता है?
• को-प्राइम क्या होते हैं?
• क्रमगुणित की अवधारणा
• गुणनखंड और गुणज क्या होते हैं?
• चक्रीयता विधि क्या होती है?
• शेष प्रमेय
• कई संख्याओं के शेष
• विभाज्यता की अवधारणा
• LCM और HCF की अवधारणा

इस लेख में, हम शेषफल की अवधारणा और विभिन्न शेष प्रमेयों के बारे में अध्ययन करेंगे।

शेष की अवधारणा (Concept of Remainder)

यदि किसी संख्या A को B से विभाजित किया जाता है, तो A भाज्य (dividend) है और B भाजक (divisor) है। दो संभावनाएं हैं:

• या तो शेष बचता है
• या कोई शेष नहीं बचता है, अर्थात शेष = 0 (मतलब यह पूरी तरह से विभाजित है)

आइए, इन दोनों मामलों को अधिक विस्तार से देखें।

शेष बचता है (Remainder is left)

यहाँ, लाभांश (Dividend) = भाजक (Divisor) × भागफल (Quotient) + शेष (Remainder)

दूसरे शब्दों में यदि A को B से भाग देने पर शेषफल r प्राप्त होता है, तो हम A को इस प्रकार लिख सकते हैं:
A = qB + r
(जहाँ q भागफल है, जो एक पूर्ण संख्या है, अर्थात इसका मान 0, 1, 2, 3….) हो सकता है

उदा. किसी संख्या को 5 से विभाजित करने पर 2 शेष बचता है, तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है (5q + 2)

नोट

यदि लाभांश, भाजक से कम है (अर्थात A < B), तो शेष लाभांश ही होगा। ऐसे मामलों में भागफल शून्य होगा।

उदा. जब 3 को 5 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 3 ही होता है। और इस भाग का भागफल 0 होता है।

नोट

यदि शेषफल, भाजक से बड़ा है (अर्थात r > B), तो इसका अर्थ है कि विभाजन पूर्ण नहीं है। हमें तब तक भाग करना है जब तक हमें भाजक से कम शेष न मिल जाए।

उदा. यदि हम 24 को 7 से भाग दें, तो हम 24 को इस प्रकार लिख सकते हैं:

24 = 2 × 7 + 10 (यहाँ शेष 10, भाजक 7 से बड़ा है, इसलिए विभाजन पूरा नहीं हुआ है)

24 = 3 × 7 + 3 (यहाँ पर शेष 3, भाजक 7 से कम है, इसलिए विभाजन पूर्ण है)

कोई शेष नहीं बचता है (No remainder is left)

यहाँ, लाभांश (Dividend) = भाजक (Divisor) × भागफल (Quotient)

यदि शेषफल शून्य है, तो:
A = qB

उदा. एक संख्या जो 5 से पूर्ण रूप से विभाज्य है, अर्थात एक संख्या जो 5 का गुणज है, को 5q के रूप में लिखा जा सकता है

नोट

हम जानते हैं कि यदि A को B से भाग देने पर शेषफल r प्राप्त होता है, तो:
A = qB + r

• इसका मतलब है कि संख्या A - r, यानी qB, B से पूरी तरह विभाज्य होगी। यह B का सबसे बड़ा गुणज होगा, जो A से कम या उसके बराबर होगा।
  
  उदा. 36 को 5 से भाग देने पर 1 का शेषफल प्राप्त होता है। अत: 36 - 1, अर्थात 35, 5 से पूर्णतः विभाज्य होगा। अतः, 35, 5 का सबसे बड़ा गुणज है जो 36 से कम है।

• साथ ही, A + (B - r), यानी (q + 1) B, B से पूर्णतः विभाज्य होगा। यह B का सबसे छोटा गुणज होगा, जो A से अधिक या बराबर होगा।
  
  उदा. 36 को 5 से भाग देने पर 1 का शेषफल प्राप्त होता है। अतः 36 + (5-1) अर्थात 40, 5 से पूर्णतः विभाज्य होगा। अतः 40, 5 का सबसे छोटा गुणज है जो 36 से अधिक है।

शेषफलों के गुण (Properties of remainders)

जोड़ और शेष (Addition and Remainders)

यदि दो भाज्य (dividends) A और B, को एक भाजक (divisor) Z द्वारा विभाजित किये जाने पर, क्रमशः $r_1$ और $r_2$ शेष बचता है, तो
जब A + B को Z से भाग दिया जाता है, तो शेषफल $r_1 + r_2$ होता है।

जैसे की, शेष [$\frac{18}{5}$] = 3 और शेष [$\frac{31}{5}$] = 1

∴ शेष [$\frac{18 + 31}{5}$] = 3 + 1 = 4

नोट

हम जानते हैं कि शेष, भाजक से कम होना चाहिए (अर्थात यह 0 से Z-1 तक कोई भी मान प्राप्त कर सकता है)।

यदि हमें एक ऐसा शेषफल मिलता है जो भाजक के बराबर या उससे अधिक है, तो हमें बस उस मान को भाजक के साथ फिर से विभाजित करने और वास्तविक शेष खोजने की आवश्यकता है।

जैसे की, शेष [$\frac{18}{5}$] = 3 और शेष [$\frac{32}{5}$] = 2

∴ शेष [$\frac{18 + 32}{5}$] = 3 + 2 = 5 = 0

(शेष 5, भाजक 5 के समान है, इसलिए हमने 5 को फिर से 5 से विभाजित किया और शेषफल 0 प्राप्त किया।)

घटाव और शेष (Subtraction and Remainders)

यदि दो भाज्य (dividends) A और B, को एक भाजक (divisor) Z द्वारा विभाजित किये जाने पर, क्रमशः $r_1$ और $r_2$ शेष बचता है, तो
जब A - B को Z से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल $r_1 - r_2$ होता है।

जैसे की, शेष [$\frac{17}{5}$] = 2 और शेष [$\frac{34}{5}$] = 4

∴ शेष [$\frac{34 - 17}{5}$] = 4 - 2 = 2

नोट

हम जानते हैं कि शेष, भाजक से कम होना चाहिए (अर्थात यह 0 से Z-1 तक कोई भी मान प्राप्त कर सकता है)। यदि हमें एक शेषफल मिलता है जो ऋणात्मक है, तो हम शेष में भाजक जोड़ देते है।

जैसे की, शेष [$\frac{18}{5}$] = 3 और शेष [$\frac{31}{5}$] = 1

∴ शेष [$\frac{31 - 18}{5}$] = 1 - 3 = -2 = 5 - 2 = 3

(शेष -2 ऋणात्मक है, इसलिए हमने इसमें भाजक 5 जोड़ा है, जिससे धनात्मक शेषफल 3 प्राप्त हुआ।)

गुणा और शेष (Multiplication and Remainders)

यदि दो भाज्य (dividends) A और B, को एक भाजक (divisor) Z द्वारा विभाजित किये जाने पर, क्रमशः $r_1$ और $r_2$ शेष बचता है, तो
जब A × B को Z से भाग दिया जाता है, तो शेषफल $r_1 × r_2$ होता है।

जैसे की, शेष [$\frac{18}{5}$] = 3 और शेष [$\frac{31}{5}$] = 1

∴ शेष [$\frac{31 × 18}{5}$] = 1 × 3 = 3

नोट

हम जानते हैं कि शेष, भाजक से कम होना चाहिए (अर्थात यह 0 से Z-1 तक कोई भी मान प्राप्त कर सकता है)। यदि हमें एक ऐसा शेषफल मिलता है जो भाजक के बराबर या उससे अधिक है, तो हमें बस उस मान को भाजक के साथ फिर से विभाजित करने और वास्तविक शेष खोजने की आवश्यकता है।

जैसे की, शेष [$\frac{17}{5}$] = 2 और शेष [$\frac{34}{5}$] = 4

∴ शेष [$\frac{34 × 17}{5}$] = 4 × 2 = 8 = 3

(8, 5 से अधिक है, इसलिए हमने 8 को फिर से 5 से विभाजित किया और शेषफल 3 प्राप्त किया।)

घातांक और शेष (Powers/Exponents and Remainders)

यदि किसी भाजक Z द्वारा भाग देने पर A, शेषफल r छोड़ता है, तो
जब $A^n$ को Z से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल $r^n$ होता है।

जैसे की, शेष [$\frac{17}{5}$] = 2

∴ शेष [$\frac{17^2}{5}$] = $2^2$ = 4

जैसे की, शेष [$\frac{18}{5}$] = 3

∴ शेष [$\frac{18^3}{5}$] = $3^3$ = 27 = 2

(27, 5 से अधिक है, इसलिए हमने 27 को 5 से फिर से विभाजित किया और शेष 2 प्राप्त किया।)

नकारात्मक शेष की अवधारणा (Concept of Negative Remainder)

शेष, शून्य या कोई भी धनात्मक संख्या हो सकती है (जो भाजक से कम हो)। यह कभी भी नकारात्मक नहीं हो सकता।

लेकिन कभी-कभी हमें नकारात्मक शेषफलों का सामना करना पड़ता है। आइए देखें कि उनका क्या मतलब है, और उनसे कैसे निबटना है।

यदि 11 को विभाजित किया जा रहा है और 3 भाजक है, तो हम 11 को इस प्रकार लिख सकते हैं:
11 = 3 × 3 + 2 (यहाँ 2 शेष है)
या 11 = 3 × 4 - 1 (यहाँ -1 शेष है)

अत: -1 मूल शेषफल 2 का संगत ऋणात्मक शेषफल (corresponding negative remainder) है, जब भाजक 3 है।

किसी भी ऋणात्मक शेषफल को अऋणात्मक शेषफल में बदलने के लिए, बस इसमें भाजक जोड़ दें।
अतः, मूल अऋणात्मक शेषफल = ऋणात्मक शेषफल + भाजक = -1 + 3 = 2

आइए इस अवधारणा का सामानियकरण करें:

यदि दो भाज्य (dividends) A और B, को एक भाजक (divisor) Z द्वारा विभाजित किये जाने पर, क्रमशः $r_1$ और $r_2$ शेष बचता है, तो
जब A - B को Z से विभाजित किया जाता है, तो शेष $r_1 - r_2$ होता है।

आइए एक और उदाहरण देखें:

शेष [$\frac{23}{4}$] = 3 और शेष [$\frac{41}{4}$] = 1

∴ शेष [$\frac{41 - 23}{4}$] = 1 - 3 = -2

अत: मूल अऋणात्मक शेषफल = ऋणात्मक शेषफल + भाजक = -2 + 4 = 2

व्यंजक का शेषफल ज्ञात करना (Finding remainder of an expression)

किसी व्यंजक का शेषफल ज्ञात करने की दो विधियाँ हैं।

• चक्रीयता विधि / पैटर्न विधि (Cyclicity Method / Pattern Method)
• शेष प्रमेय विधि (Remainder Theorem method)

चक्रीयता विधि / पैटर्न विधि (Cyclicity Method / Pattern Method)

हमने पहले के लेखों में देखा, कि किसी संख्या की घातों का अंतिम अंक एक निश्चित पैटर्न में दोहराता है। इसी प्रकार, किसी संख्या की घातों के शेष भी पुनरावृत्ति के एक निश्चित पैटर्न का अनुसरण करते हैं। यदि हम इस पैटर्न की पहचान कर सकते हैं, तो हम किसी दिए गए भाग (division) के शेष का पता लगा सकते हैं।

आइए, हम उस पैटर्न को खोजें जो शेषफल अनुसरण करते हैं, जब 2 की विभिन्न घातों को 5 से विभाजित किया जाता है।

शेष [$\frac{2}{5}$] = 2

शेष [$\frac{2^2}{5}$] = 4

शेष [$\frac{2^3}{5}$] = 3

शेष [$\frac{2^4}{5}$] = 1

शेष [$\frac{2^5}{5}$] = 2

शेष [$\frac{2^6}{5}$] = 4

तो, हम दोहराव का पैटर्न देख सकते हैं: 2, 4, 3, 1 (यहाँ शेष 4 के चक्र में दोहराता है)

तो, हम इस जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं। आइए देखते हैं।

हम जानते हैं कि जब 2 को 5 से विभाजित किया जाता है, तो चक्रीयता 4 होती है।

इसका अर्थ है कि यदि 2 का घातांक 4 का कोई गुणज है, तो शेषफल 1 होना चाहिए। इसलिए, यदि घातांक इस रूप में है:
4k + 0, तो शेषफल 1 होगा
4k + 1, तो शेषफल 2 होगा
4k + 2, तो शेषफल 4 होगा
4k + 3, तो शेषफल 3 होगा
(जहाँ k कोई पूर्ण संख्या,whole number है, k = 0, 1, 2, 3...)

यदि हमें शेषफल ज्ञात करना है, जब $2^{34}$ को 5 से विभाजित किया जाता है, तो हमें केवल 34 को 4 से विभाजित करने की आवश्यकता है (क्यूंकि 4 वो चक्रीयता है, जब 2 को 5 से विभाजित किया जाता है)। हमें जो शेष मिलता है वह 2 (अर्थात 4k + 2) है।
इसका अर्थ है कि $2^{34}$, $2^2$ के समान शेषफल देगा, अर्थात 4

शेष प्रमेय विधि (Remainder Theorem method)

मान लीजिए कि p(x) एक बहुपद (polynomial) है।
यदि p(x) को (x - a) से विभाजित किया जाता है, तो शेष p(a) होगा।

उदाहरण के लिए, यदि $x^2 + 3x + 5$ को x - 2 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल होगा:
f (2) = $2^2$ + (3 × 2) + 5 = 15

यदि $x^2 + 3x + 5$ को x + 2 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल होगा:
f (-2) = $(-2)^2$ + (3 × -2) + 5 = 3

नोट

x में कोई बहुपद फलन (polynomial function) एक ऐसा फलन है, जहां x के केवल धनात्मक पूर्णांक घातांक (positive integer exponents) दिखाई देंगे। जैसे की, द्विघात समीकरण (quadratic equation), घन समीकरण (cubic equation), आदि।

पहले हमने पैटर्न विधि का उपयोग शेषफल को खोजने के लिए किया था, जब $2^{34}$ को 5 से विभाजित किया गया था। आइए, हम इसे शेष प्रमेय विधि का उपयोग करके हल करें।

चूँकि अंश (अर्थात लाभांश) 2 की घातों के रूप में है, हमें हर को भी 2 की घातों के रूप में व्यक्त करने की आवश्यकता है। हम 5 को 4 + 1 = $2^2$ + 1 के रूप में लिख सकते हैं।
अब हमें अंश को $2^2 × 2^{34} = (2^2)^{17}$
के रूप में लिखना होगा मान लीजिए $2^2$, x है।
इसलिए, मूल रूप से हमें शेषफल खोजने की जरूरत है, जब $x^{17}$ को (x + 1) से विभाजित किया जाता है।
शेष प्रमेय के अनुसार, अभीष्ट शेष = f (-1) = $(-1)^{17}$ = -1 = -1 + 5 = 4

शेष प्रमेय विधि बनाम पैटर्न विधि (Remainder Theorem Method Vs. Pattern Method)

हम शेष प्रमेय का उपयोग उन मामलों में कर सकते हैं जहां हर (यानी भाजक), अंश के आधार की किसी घात से एक अधिक या एक कम के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण के लिए:

$\frac{2^{24}}{3}$, $\frac{2^{24}}{5}$ और $\frac{2^{24}}{7}$ के मामले में, अंश का आधार 2 है।

$\frac{2^{24}}{3}$ - यहां हर को 2 + 1 के रूप में लिखा जा सकता है

$\frac{2^{24}}{5}$ - यहां हर को $2^2$ + 1 के रूप में लिखा जा सकता है

$\frac{2^{24}}{7}$ - यहां हर को $2^3$ - 1 के रूप में लिखा जा सकता है

ऐसे मामलों में, जहां हर और अंश को इस तरह से लिखना संभव नहीं है, हमें इसकी बजाय (अर्थार्थ शेष प्रमेय विधि के बजाय) पैटर्न विधि का इस्तेमाल करना चाहिए।

शेष प्रमेय पर आधारित सामान्यीकरण (Generalizations based on Remainder Theorem)

सामान्यीकरण 1

$\frac{(p + 1)^n}{p}$, p और n के सभी प्राकृतिक मानों के लिए, शेषफल के रूप में हमेशा 1 देगा।

सामान्यीकरण 2

$\frac{p^n}{(p + 1)}$, हमेशा 1 शेष के रूप में देगा, जब n सम (even) हो।

सामान्यीकरण 3

$\frac{p^n}{(p + 1)}$, हमेशा p को शेष के रूप में देगा, जब n विषम (odd) हो।

अभाज्य संख्याओं के शेष सम्बंधित गुण (Remainder properties of Prime numbers)

गुण 1

किसी भी अभाज्य p>3 के लिए, $p^2$ - 1, 24 का गुणज होता है।

उदा. यदि p = 5, तो $5^2$ - 1 = 24
यदि p = 11, तो $11^2$ - 1 = 120 (24 का गुणज)

गुण 2: फ़र्मेट का प्रमेय (Fermat's theorem)

माना 'x' और 'y' कोई दो अभाज्य संख्याएँ हैं।

तब $x^y$ - x हमेशा y से विभाज्य होता है।

उदा. $2^3$ - 2 = 6, 3 से विभाज्य है।
$2^5$ - 2 = 30, 5 से विभाज्य है।
$3^3$ - 3 = 24, 3 से विभाज्य है।

गुण 3: फर्मेट की छोटी प्रमेय (Fermat's little theorem)

मान लीजिए 'x' और 'y' कोई दो अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हैं (जहाँ 'y' एक अभाज्य संख्या है)

फिर शेष [$\frac{x^{y - 1}}{y}$] = 1 है।

उदा. अगर x = 10 और y = 7
शेष [$\frac{10^6}{7}$] = 1

आइए इसे दोबारा जांचें।
शेष [$\frac{10^6}{7}$] = शेष [$\frac{3^6}{7}$] = शेष [$\frac{9^3}{7}$] = शेष [$\frac{2^3}{7}$] = शेष [$\frac{8}{7}$] = 1

गुण 4: विल्सन की प्रमेय (Wilson's theorem)

मान लीजिए 'p' एक अभाज्य संख्या है, तो:

शेष [$\frac{(p − 1)!}{p}$] है (p - 1)

शेष [$\frac{(p - 1)! + 1}{p}$] हमेशा शून्य होता है।

उदा. मान लीजिए p = 5, तब:

शेष [$\frac{(5 - 1)!}{5}$], यानी शेष [$\frac{4!}{5}$] = (5 - 1) = 4

शेष [$\frac{(5 - 1)! + 1}{5}$], यानी शेष [$\frac{4! + 1}{5}$] शून्य है।

समग्र संख्याओं के शेष सम्बंधित गुण (Remainder properties of Composite numbers)

गुण 1: विल्सन की प्रमेय (Wilson's theorem)

यदि n एक समग्र/भाज्य संख्या है जो 4 से अधिक है, तो (n - 1)!, n से विभाज्य होगा।

उदा. यदि n = 6, तो (6 - 1)! = 5! = 120, 6 से विभाज्य है।
यदि n = 8, तो (8 - 1)! = 7! = 5040, 8 से विभाज्य है।

नोट

4 सबसे छोटी समग्र/भाज्य संख्या है।