आनुक्रमिक प्रतिशत परिवर्तन की अवधारणा (Concept of Successive Percent Change)
Overview
इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Concept of Successive Percent Change, in Hindi
नोटइस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:
आनुक्रमिक प्रतिशत परिवर्तन की अवधारणा
मान लीजिए कि एक संख्या x में a% और फिर b% का प्रतिशत परिवर्तन होता है, तो:
कुल प्रतिशत परिवर्तन ≠ (a + b)%
क्या आप अनुमान लगा सकते हैं, की ऐसा क्यों है ?
कुल प्रतिशत परिवर्तन दो प्रतिशत परिवर्तनों का साधारण जोड़ नहीं होता है, क्योंकि पहले परिवर्तन के बाद आधार बदल जाता है।
a% परिवर्तन के बाद नया नंबर = x × (1 + \(\frac{a}{100}\))
यह नया आधार है, यानी आधार बदल गया है।तो, b% परिवर्तन के बाद नया नंबर = [x × (1 + \(\frac{a}{100})] × (1 + \frac{b}{100}\))
तो, आनुक्रमिक a% और b% परिवर्तन के बाद नई संख्या = x × (\(\frac{a}{100}) × (\frac{b}{100}) = x × [1 + \frac{𝑎 + 𝑏 + \frac{ab}{100}}{100}\)]
तो, कुल प्रतिशत परिवर्तन = 𝑎 + 𝑏 + \(\frac{ab}{100}\)
परिवर्तन (Net Change) वृद्धि है या कमी है, यह अंतिम परिणाम के संकेत से ज्ञात होगा| यदि अंतिम परिणाम घनात्मक (positive) है, तो इसका मतलब है की वृद्धि हुई है, मगर अगर अंतिम परिणाम नकारात्मक (negative) है, तो इसका मतलब है की कमी हुई है।
यदि 2 से अधिक लगातार प्रतिशत परिवर्तन होते हैं, तो हम दो-दो की जोड़ी में क्रमिक रूप से प्रतिशत परिवर्तन सूत्र लागू कर सकते हैं।
नोटक्रमिक प्रतिशत वृद्धि / कमी में, प्रतिशत का क्रम मायने नहीं रखता। आप किसी को भी पहले लगा सकते हैं, जवाब वही मिलेगा।
क्यूंकि, x × (1 + \(\frac{a}{100}) × (1 + \frac{b}{100}) = x × (1 + \frac{b}{100}) × (1 + \frac{a}{100}\))
प्र. यदि मृगांक का वेतन पहले वर्ष 20% और अगले वर्ष 10% बढ़ जाता है, तो इन 2 वर्षों में उसके वेतन में कुल प्रतिशत वृद्धि क्या होगी?
व्याख्या :
माना मृगांक का वेतन x है
प्रथम वर्ष के बाद मृगांक का वेतन = x × (120/100) = 1.2x
दूसरे वर्ष के बाद मृगांक का वेतन = 1.2x × (110/100) = 1.2x × 1.1 = 1.32x
तो, कुल प्रतिशत वृद्धि = [(1.32x - x)/x] × 100 = (0.32x/x) × 100 = 0.32 × 100 = 32%
पहला गुणन कारक = 1.2
दूसरा गुणन कारक = 1.1
कुल गुणन कारक = 1.2 × 1.1 = 1.32
तो, कुल प्रतिशत वृद्धि = 32%
कुल प्रतिशत परिवर्तन ≠ (a + b)%
कुल प्रतिशत वृद्धि = (𝑎 + 𝑏 + \(\frac{ab}{100})% = (20 + 10 + \frac{20 × 10}{100}\))% = (30 + 2)% = 32%
मान लीजिये कि मृगांक का शुरुआती वेतन 100 रुपये है
20% वृद्धि के बाद वेतन = 100 + 20 = रु 120
10% और वृद्धि के बाद वेतन = 120 + 12 = रु 132
तो, कुल प्रतिशत वृद्धि = 32%
20% ≡ 1/5
प्रथम वर्ष के बाद नया वेतन = 5 + 1 = 6
प्रथम वर्ष के बाद वेतन, का मूल वेतन के साथ अनुपात = 6/5
10% ≡ 1/10
दूसरे वर्ष के बाद नया वेतन = 10 + 1 = 11
दूसरे वर्ष के बाद वेतन, का पहले वर्ष के बाद वेतन से अनुपात = 11/10
दूसरे वर्ष के बाद वेतन, का मूल वेतन से अनुपात = (11/10) × (6/5) = 33/25
तो, कुल प्रतिशत वृद्धि = [(33 - 25)/25] × 100 = (8/25) × 100 = 32%
प्र. एक व्यक्ति ने एक शेयर में एक निश्चित राशि का निवेश किया था। शेयर एक दिन में 100% बढ़ा, और अगले दिन 50% गिर गया। व्यक्ति द्वारा प्राप्त किए गए लाभ/हानि का प्रतिशत कितना है?
(a) 50% लाभ
(b) 0% लाभ
(c) 50% हानि
(d) निर्धारित नहीं किया जा सकता
व्याख्या:
यदि किसी संख्या में 100% की वृद्धि की जाती है, तो वह दुगनी हो जाती है। इसी तरह 50% कम होने पर यह आधा हो जाती है।
इसलिए, उसके पास जो अंतिम राशि थी, वह मूल राशि के समान ही होगी। अर्थार्थ, कोई लाभ नहीं, कोई नुकसान नहीं।
उत्तर: (b)
नोटसुझाव:
कुल प्रतिशत परिवर्तन सूत्र पद्धति का उपयोग तब करें, यदि दिया गया प्रतिशत डेटा पूर्णांकों में हो, लेकिन वो पूर्णांक अजीब से हों, जैसे की 17% की वृद्धि, 19% की वृद्धि - इस प्रकार के डेटा में प्रतिशत विधि या भिन्न विधि का उपयोग करना कठिन होगा|
यदि दिया गया प्रतिशत डेटा ऐसे पूर्णांकों में है जो आसान हों (जैसे 20% वृद्धि, 15% वृद्धि), तो प्रतिशत विधि का उपयोग करें - इस प्रकार के डेटा में आप या तो सूत्र विधि या भिन्न विधि का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन प्रतिशत विधि सबसे तेज़ साबित होगी|
भिन्न विधि का उपयोग करें यदि दिया गया प्रतिशत डेटा ऐसे दशमलव में हो, जिन्हें भिन्नों में परिवर्तित करना आसान हो (जैसे 16.67% की वृद्धि, 12.5% की वृद्धि) - इस प्रकार के डेटा में प्रतिशत विधि या सूत्र विधि का उपयोग करना कठिन होगा|
प्र. यदि किसी पुस्तक की कीमत में 22.22% की कमी की जाती है, और फिर 50% की वृद्धि की जाती है, तो उसके मूल्य में कुल प्रतिशत परिवर्तन कितना हुआ होगा ?
व्याख्या: भिन्नों का उपयोग करके
नई कीमत = 9 - 2 = 7
नई कीमत/मूल कीमत का अनुपात = 7/9
50% ≡ 1/2
नई कीमत = 2 + 1 = 3
नई कीमत/मूल कीमत का अनुपात = 3/2
अंतिम मूल्य / मूल मूल्य का अनुपात = (7/9) × (3/2) = 7/6
तो, कुल प्रतिशत वृद्धि = [(7 - 6)/6] × 100 = (1/6) × 100 = 16.67%
विशेष मामला (Special case)
जब हम कुल प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हैं, तो हमें कभी-कभी एक विशेष स्थिति का सामना करना पड़ता है।
- यदि किसी संख्या में पहले a% की वृद्धि की जाती है, और फिर उसमें a% की कमी की जाती है, तो कुल प्रभाव हमेशा कमी होने वाला होता है :
a – a – \(\frac{a^2}{100} = - \frac{a^2}{100}\)%
- यह कुल प्रतिशत परिवर्तन समान रहेगा, भले ही उस संख्या को पहले a% घटाया जाए और फिर इसे a% बढ़ा दिया जाए।
-a + a – \(\frac{a^2}{100} = - \frac{a^2}{100}\)%
तो, दोनों ही मामलों में उत्तर एक ही है, यानी - \(\frac{a^2}{100}\)%
प्र. यदि एक जूट बैग की कीमत में 20% की वृद्धि की जाती है, और फिर 20% की कमी की जाती है, तो इसकी कीमत में कुल प्रतिशत परिवर्तन क्या होगा?
व्याख्या :
कुल प्रतिशत वृद्धि = - \(\frac{a^2}{100}% = - \frac{20^2}{100}% = - \frac{400}{100}\)% = -4%
मान लेते हैं, कि जूट बैग की शुरुआती कीमत 100 रुपये है
20% वृद्धि के बाद मूल्य = 100 + 20 = 120 रुपये
इसके बाद, 20% की कमी के बाद कीमत = 120 - 24 = रु 96
तो, कुल प्रतिशत कमी = -4%
20% की वृद्धि ≡ 1/5
नई कीमत = 5 + 1 = 6
नई कीमत/मूल कीमत का अनुपात = 6/5
20% की कमी ≡ 1/5
नई कीमत = 5 - 1 = 4
नई कीमत/मूल कीमत का अनुपात = 4/5
अंतिम मूल्य / मूल मूल्य का अनुपात = (6/5) × (4/5) = 24/25
तो, कुल प्रतिशत कमी = [(25 - 24)/25] × 100 = (1/25) × 100 = 4%
z = x × y
मान लीजिए कि दो मात्राएँ x और y हैं, जो गुणा करके एक मात्रा z बनाती हैं। हम कह सकते हैं:
z = x × y
मान लें कि x को a% बदल दिया जाता है, और y को b% बदल दिया जाता है, तो:
z = x (1 + \(\frac{a}{100}) × y (1 + \frac{b}{100}) = x y × [1 + \frac{𝑎 + 𝑏 + \frac{ab}{100}}{100} ] = z × [1 + \frac{𝑎 + 𝑏 + \frac{ab}{100}}{100}\)]
तो x और y को क्रमशः a% और b% से बदलने का मतलब है, कि z इतना बदल जायेगा :
𝑎 + 𝑏 + \(\frac{ab}{100}\)
तो, प्रश्न मूल रूप से यह रह जाता है:
यदि z को क्रमिक रूप से a% और फिर b% से बदला जाता है, तो कुल प्रतिशत परिवर्तन क्या है?
नोटअर्थात्, x को a% और y को b% से बदलना ≡ z को क्रमिक रूप से a% और b% से बदलना
आइए, कुछ उदाहरण देखें:
प्र. यदि एक आयत की लंबाई 40% बढ़ जाती है, और चौड़ाई 20% घट जाती है, तो क्षेत्रफल में कुल परिवर्तन कितना होगा ?
व्याख्या :
कुल प्रतिशत परिवर्तन = (𝑎 + 𝑏 + \(\frac{ab}{100})% = (40 - 20 - \frac{40 × 20}{100}\))% = (20 − 8)% = 12%
प्रथम गुणन कारक = 1.40
दूसरा गुणन कारक = 0.80
कुल गुणन कारक = 1.4 × 0.8 = 1.12
तो, कुल प्रतिशत वृद्धि = 12%
माना आयत का प्रारंभिक क्षेत्रफल 100 है
लंबाई में 40% वृद्धि के बाद क्षेत्रफल = 100 + 40 = 140
चौड़ाई में 20% कमी के बाद क्षेत्रफल = 140 - 28 = 112
तो, कुल प्रतिशत वृद्धि = 12%
40% वृद्धि ≡ 2/5
नई लंबाई = 5 + 2 = 7
नई लंबाई/मूल लंबाई का अनुपात = 7/5
20% की कमी ≡ 1/5
नई चौड़ाई = 5 - 1 = 4
नई चौड़ाई / मूल चौड़ाई का अनुपात = 4/5
अंतिम क्षेत्रफल/मूल क्षेत्रफल का अनुपात = (7/5) × (4/5) = 28/25
तो, कुल प्रतिशत वृद्धि = [(28 - 25)/25] × 100 = (3/25) × 100 = 12%
प्रश्न. एक घनाभ की लंबाई और चौड़ाई में क्रमशः 10% और 20% की वृद्धि की जाती है, जबकि इसकी ऊंचाई में 30% की कमी की जाती है। घनाभ के आयतन में कुल कितने प्रतिशत वृद्धि/कमी होनी चाहिए?
व्याख्या :
घनाभ का आयतन = l × b × h
चूंकि यहां 3 चर शामिल हैं, इसलिए हमें सूत्र का दो बार उपयोग करना होगा।
l और b की शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = (𝑎 + 𝑏 + \(\frac{ab}{100})% = (10 + 20 + \frac{10 × 20}{100}\))% = (30+2)% = 32%
(l और b) और h की शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = (𝑎 + 𝑏 + \(\frac{ab}{100})% = (32 - 30 - \frac{32 × 30}{100}\))% = (2 − 9.6)% = -7.6%
अत: घनाभ के आयतन में प्रतिशत कमी = 7.6%
मान लीजिए प्रारंभिक आयतन 100 है।
10% वृद्धि के बाद, आयतन = 100 + 100 का 10% = 100 + 10 = 110
इसके बाद, 20% वृद्धि के बाद, आयतन = 110 + 110 का 20% = 110 + 22 = 132
इसके बाद, 30% की कमी के बाद, आयतन = 132 - 30% of 132 = 132 – (3 × 13.2) = 132 – 39.6 = 92.4
अत: घनाभ के आयतन में प्रतिशत कमी = 100 – 92.4 = 7.6%
10% वृद्धि ≡ 1/10
20% की वृद्धि ≡ 1/5
30% की कमी ≡ 3/10
अंतिम आयतन / मूल आयतन का अनुपात = (11/10) × (6/5) × (7/10) = 462/500
तो, कुल प्रतिशत कमी = [(500 - 462)/500] × 100 = (38/500) × 100 = 7.6%
तीन या अधिक वर्षों के लिए क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन (Successive Percent Change for three or more years)
अगर विकास दर सतत है (Constant Growth Rate)
यदि किसी शहर की जनसंख्या P है, और इसे प्रति वर्ष r% की दर से बढ़ाया जाता है (अर्थात विकास दर साल-दर-साल स्थिर है), तो
(a) n वर्षों के बाद जनसंख्या, \(P_n = P (1 + \frac{r}{100})^n\)
(b) n वर्षों पहले की जनसंख्या, P = \(\frac{P_n}{(1 + \frac{r}{100})^n}\)
अगर विकास दर बदल रही है (Variable Growth Rate)
यदि किसी शहर की जनसंख्या P है, और पहले वर्ष में \(r_1%\), दूसरे वर्ष में \(r_2%\), और तीसरे वर्ष में \(r_3%\) की दर से बढ़ती है (अर्थात विकास दर हर साल भिन्न होती है), तो
(a) 3 वर्षों के बाद जनसंख्या, \(P_3 = P (1 + \frac{r_1}{100}) (1 + \frac{r_2}{100}) (1 + \frac{r_3}{100})\)
(b) 3 वर्षों पहले की जनसंख्या, P = \(\frac{P_3}{(1 + \frac{r_1}{100}) (1 + \frac{r_2}{100}) (1 + \frac{r_3}{100})}\)
यदि किसी मशीन का वर्तमान मूल्य P है, और उसकी मूल्यह्रास दर (depreciation rates) \(r_1%\), \(r_2%\), और \(r_3%\) वार्षिक है (अर्थात मूल्यह्रास कास दर हर साल भिन्न होती है), तो
(a) 3 साल बाद मशीन का मूल्य, \(P_3 = P (1 - \frac{r_1}{100}) (1 - \frac{r_2}{100}) (1 - \frac{r_3}{100})\)
(b) 3 साल पहले मशीन का मूल्य, P = \(\frac{P_3}{(1 - \frac{r_1}{100}) (1 - \frac{r_2}{100}) (1 - \frac{r_3}{100})}\)
प्रतिशत का प्रतिशत (Percent of a Percent)
y का x% = \(\frac{x}{100}\) × y
y के x% का z% = \(\frac{z}{100} × \frac{x}{100}\) × y
और इसी तरह आगे भी।
नोटआप यह देख सकते हैं, कि जिस क्रम में हम इन प्रतिशतों को लागू करते हैं वह महत्वपूर्ण नहीं है:
y के x% का z% = \(\frac{z}{100} × \frac{x}{100}\) × y
y के z% का x% = \(\frac{x}{100} × \frac{z}{100}\) × y
तो, y के x% का z% = y के z% का x%
प्र. 90 के 50% का 20% क्या है?
व्याख्या :
90 का 50% = \(\frac{50}{100}\) × 90 = 45
45 का 20% = \(\frac{20}{100}\) × 45 = 9
90 के 50% का 20% = 0.2 × 0.5 × 90 = 9
comments powered by Disqus