Time, Speed and Distance in Hindi
Overview
इस लेख में हम समय, गति और दूरी की बुनियादी अवधारणाओं के बारे में जानेंगे|
इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Time, Speed and Distance, in Hindi
समय, गति और दूरी का फॉर्मूला
गति - किसी गतिमान वस्तु द्वारा इकाई समय में तय की गई दूरी।
अतः, गति = \(\frac{दूरी}{समय}\)
या हम उपरोक्त सूत्र को इस प्रकार लिख सकते हैं:
दूरी = गति × समय
प्रश्न. 5 घंटे में 20 किमी की यात्रा करने वाले व्यक्ति की गति क्या है?
हल:
गति = \(\frac{दूरी}{समय}\) = \(\frac{20}{5}\) = 4 किमी/घंटा
इसका मतलब है कि व्यक्ति एक घंटे में 4 किमी की यात्रा करता है।
समय, गति और दूरी के मापन की इकाइयाँ
गति की इकाइयों का रूपांतरण:
* x किमी/घंटा = x × \(\frac{5}{18}\) = \(\frac{5x}{18}\) मी/सेकंड
* x मीटर/सेकंड = x × \(\frac{18}{5}\) = \(\frac{18x}{5}\) किमी/घंटा
(यदि आप 1 किमी = 1000 मीटर और 1 घंटा = 3600 सेकंड लगाते हैं तो आप उपरोक्त मानों को निकाल सकते हैं)
18 किमी/घंटा = 5 मीटर/सेकेंड
इसी प्रकार से, 36 किमी/घंटा = 10 मीटर/सेकेंड, 54 किमी/घंटा = 15 मीटर/सेकेंड और 72 किमी/घंटा = 20 मीटर/सेकेंड।
प्रश्न. यदि कोई व्यक्ति 1200 मीटर लंबे पुल को 10 मिनट में पार कर सकता है, तो उसकी गति किमी प्रति घंटे में क्या है?
हल :
समय = 10 मिनट = 10 × 60 = 600 सेकंड
गति, x = \(\frac{दूरी}{समय} = \frac{1200}{600}\) = 2 मीटर/सेकंड
x मीटर/सेकंड = \(x × \frac{18}{5} = \frac{18x}{5} किमी/घंटा = \frac{36}{5}\) किमी/घंटा = 7.2 किमी/घंटा
समय = 10 मिनट = 10 / 60 = 1/6 घंटा
दूरी = 1200 मीटर = \(\frac{1200}{1000}\) = 1.2 किमी
गति = \(\frac{दूरी}{समय} = \frac{1.2}{(1/6)}\) = 7.2 किमी/घंटा
अन्य सूत्र
सूत्र 1
चक्करों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र:
दूरी, D = परिधि × n = 2πrn
जहाँ, n = चक्करों की संख्या और r = वृत्त की त्रिज्या
सूत्र 2
खंभों की संख्या की गणना के आधार पर दूरी ज्ञात करने का सूत्र (उदाहरण के लिए जब आप ट्रेन में यात्रा कर रहे हों):
कुल दूरी = (n - 1)x
जहाँ, n = खंभों की संख्या, और x = क्रमागत खंभों के बीच की दूरी।
समय, गति और दूरी के बीच संबंध
अब, समय, गति और दूरी (TSD) सूत्र में गहराई से उतरते हैं। हम गति का अध्ययन सीधी रेखा में ही करेंगे, और इन तीन चरों (अर्थात समय, गति और दूरी) के बीच संबंधों का विश्लेषण करने का प्रयास करेंगे।
ऐसा करने का सबसे अच्छा तरीका है कि उनमें से एक को स्थिर रखा जाए, और फिर विश्लेषण किया जाए कि अन्य दो एक दूसरे के सापेक्ष कैसे बदलते हैं। कई प्रश्न भी इसी तरह से संरचित किये जाते हैं।
यहां तीन केस बन सकते हैं:
केस I: जब दूरी (D) स्थिर हो
S α 1 / Tकेस II: जब समय (T) स्थिर हो:
S α Dस्थिति III: जब गति (S) स्थिर हो:
D α T
दूरी स्थिर है
जब दूरी (D) स्थिर होती है, तो गति लिए गए समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
S α 1 / T
अतः, यदि A और B की गति का अनुपात a : b है, तो A और B द्वारा लिए गए समय का अनुपात (समान दूरी तय करने के लिए) = 1/a : 1/b = b : a
या हम कह सकते हैं कि, यदि A और B द्वारा लिए गए समय (समान दूरी तय करने के लिए) का अनुपात b : a है, तो A और B की गति का अनुपात a : b होगा।
प्रश्न. A, B और C एक दौड़ में भाग लेते हैं और इसे पूरा करने में 12, 8 और 16 मिनट का समय लेते हैं। A, B और C की गति का अनुपात क्या है?
हल:
अत: A, B और C की गति का अनुपात = (1/12) : (1/8) : (1/16) = (4/48) : (6/48) : (3/48) = 4 : 6 : 3
[LCM (12, 8, 16) = 48]
आइए अब देखते हैं कुछ विशेष अवधारणाएं और प्रश्न जो इस संबंध पर आधारित होते हैं।
अवधारणा 1
एक व्यक्ति एक निश्चित दूरी को S किमी प्रति घंटे की गति से तय करता है।
अगर वह \(S_1\) किमी प्रति घंटे की गति से आगे बढ़ता, तो उसे \(t_1\) घंटे कम लगते।
यदि वह \(S_2\) किमी प्रति घंटा धीमी गति से चलता, तो उसे \(t_2\) घंटे अधिक लगते।
फिर, मूल गति, S = \(\frac{S_1 S_2 (t_1 + t_2)}{S_1 t_2 − S_2 t_1}\) kmph
और दूरी = S \(t_1 (1 + \frac{S}{S_1}\)) km
विशेष केस/मामलाअगर \(t_1 = t_2\), तो
S = \(\frac{2 S_1 S_2}{S_1 - S_2}\) kmph
(यदि \(S_1 > S_2\), अन्यथा हम उपरोक्त सूत्र में \(S_2 - S_2\) का उपयोग करेंगे)
प्रश्न. एक व्यक्ति एक निश्चित गति से अपने कार्यालय जाता है, ताकि सही समय पर पहुंच सके। एक दिन वह 12 किमी/घंटा तेज गति से चलता है और 20 मिनट पहले अपने कार्यालय पहुंच जाता है। फिर एक और दिन उसने 6 किमी/घंटा धीमी गति से यात्रा की और 15 मिनट देरी से पंहुचा। उसकी मूल गति और उसके कार्यालय की दूरी क्या है?
हल :
\(t_1\) = 20/60 = 1/3 और \(t_2\) = 15/60 = 1/4
मूल गति, S = \(\frac{S_1 S_2 (t_1 + t_2)}{S_1 t_2 − S_2 t_1} = \frac{12 × 6 (1/3 + 1/4)}{12 × (1/4) – 6 × (1/3)}\)
= 42 (3 – 2) = 42 किमी/घंटा
और दूरी = S \(t_1 (1 + \frac{S}{S_1}\))
= 42 × (1/3) (1 + \(\frac{42}{12}\))
= 14 (9/2) = 63 किमी
मान लेते हैं कि मूल गति और दूरी क्रमशः S किमी/घंटा और d किमी है।
मूल गति और 12 किमी/घंटा तेज गति से चलने में लगने वाले समय में अंतर = 20/60
या \(\frac{d}{S} - \frac{d}{S + 12}\) = 1/3
या d [\(\frac{12}{S(S + 12)}\)] = 1/3
मूल गति और 6 किमी/घंटा धीमी गति से चलने में लगने वाले समय में अंतर = 15/60
या \(\frac{d}{S - 6} - \frac{d}{S}\) = 1/4
या d [\(\frac{6}{S(S - 6)}\)] = 1/4
(1) और (2) का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
\(\frac{S (S + 12)}{S (S - 6)}\) = 3/2
या S = 42 km/hr
S के इस मान को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
24d = S (S - 6) = 42 × 36
या d = \(\frac{42 × 36}{24}\) = 63 km
अवधारणा 2
एक व्यक्ति एक निश्चित गति से कुछ दूरी तय करता है।
यदि वही दूरी मूल गति के \(\frac{a}{b}^{th}\) से तय की जाती है और लिया गया समय t मिनट कम या ज्यादा है, तो:
मूल समय = \(\frac{a}{|a - b|}\) t गुना और
नया समय = \(\frac{b}{|a - b|}\) t
प्रश्न. एक व्यक्ति एक निश्चित गति से कुछ दूरी तय करता है। यदि वह अपनी गति में 25% की वृद्धि करता है, तो वह समान दूरी तय करने में 20 मिनट कम लेगा। मूल गति से दूरी तय करने में उसके द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
हल :
माना मूल गति S किमी/घंटा है और लिया गया मूल समय T घंटा है।
नई गति = S + 25% S = 1.25 S
लिया गया नया समय = T - 20/60 = T - 1/3 = (3T - 1)/3
दूरी = ST = 1.25 S × (3 T - 1)/3
या T = 1.25 (3T - 1)/3
या 12T = 15T - 5
या 3T = 5
या T = 5/3 घंटे = (5/3) × 60 = 100 मिनट
माना मूल गति S किमी/घंटा है और लिया गया मूल समय T घंटा है।
नई गति = S + 25% S = 1.25 S = (5/4) S
यदि समान दूरी मूल गति के a/b वें भाग से तय की जाती है और लिया गया समय t मिनट अधिक या कम है, तो:
लिया गया मूल समय = \(\frac{a}{|a - b|} t = \frac{5}{|5 - 4|}\) × 20 = 100 मिनट
तय की गई दूरी स्थिर/समान है। अतः लिया गया समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होगा।
यदि गति में 25% की वृद्धि की जाती है, तो लिया गया समय 20% कम हो जाता है।
इसलिए, यदि लिया गया मूल समय T है, तो लिया गया नया समय = 0.8 T
लिए गए समय में अंतर = 20
या T - 0.8 T = 20
या 0.2 T = 20
या T = 100 मिनट
तय की गई दूरी स्थिर है। अतः लिया गया समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होगा।
यदि गति में 25% की वृद्धि की जाती है, तो लिया गया समय 20% कम हो जाता है।
तो, 20% ≡ 20 मिनट
अत: 100% ≡ 20 × 5 = 100 मिनट
तय की गई दूरी स्थिर है। अतः लिया गया समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होगा।
यदि गति में 25% की वृद्धि की जाती है, तो नई गति मूल गति से (5/4) गुना अधिक होगी।
तो, लिया गया नया समय मूल समय का (4/5) गुना होगा।
लिए गए समय में अंतर = 20
या T - (4/5) T = 20
या T/5 = 20
या T = 100 मिनट
अवधारणा 3
एक व्यक्ति को एक निश्चित दूरी तय करनी होती है।
यदि वह \(S_1\) किमी/घंटा की गति से यात्रा करता है तो उसे \(t_1\) घंटे की देरी हो जाती है।
और \(S_2\) किमी/घंटा की गति से यात्रा करते हुए वह \(t_2\) घंटे पहले पहुंच जाता है।
फिर, दूरी = \(\frac{S_1 S_2 (t_1 + t_2)}{(S_2 - S_1)}\)
प्रश्न. ग्रीष्मकालीन शिविर में जाने वाला एक छात्र 20 किमी/घंटा की गति से यात्रा करने पर 1 घंटे की देरी से पहुंचेगा, जबकि 50 किमी/घंटा की गति से यात्रा करने पर वह 2 घंटे पहले पहुंच जाएगा। समर कैंप कितनी दूर है?
हल :
\(S_1\) किमी/घंटा की गति से यात्रा करने पर उसे \(t_1\) घंटे की देरी हो जाती है।
और \(S_2\) किमी/घंटा की गति से यात्रा करते हुए वह \(t_2\) घंटे पहले पहुंच जाता है।
तो, दूरी = \(\frac{S_1 S_2 (t_1 + t_2)}{(S_2 - S_1)} = \frac{20 × 50 (1 + 2)}{(50 - 20)}\) = 100 किमी
माना सामान्य समय = T घंटे
दूरी, d = गति × समय
तो, d = 20 × (T + 1) ... (1)
साथ ही, d = 50 × (T - 2) ... (2)
(1) और (2) का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
20 × (T + 1) = 50 × (T - 2)
या 2T + 2 = 5T - 10
या 3T = 12
या T = 4 घंटे
तो, d = 20 × (T + 1) = 20 × (4 + 1) = 100 किमी
माना सामान्य समय = T घंटे
गति में 20 किमी/घंटा से 50 किमी/घंटा की वृद्धि 150% है।
चूंकि दूरी स्थिर है, इसलिए लिया गया समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होगा।
तो, लिए गए समय में संगत प्रतिशत कमी = (150/250) × 100 = 60%
वह शुरू में 1 घंटा लेट था और फिर 2 घंटे जल्दी आ गया।
अत: समय में कमी = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 घंटे
तो, 60% ≡ 3 घंटे
और 100% ≡ 3 × (100/60) = 5 घंटे
तो, 20 किमी/घंटा की गति से, वह 5 घंटे लेगा।
अत: दूरी = गति × समय = 20 × 5 = 100 किमी
अवधारणा 4
जब दो व्यक्ति समान दूरी, \(S_1\) और \(S_2\) किमी/घंटा की अलग-अलग गति से तय करते हैं और उनके द्वारा इस दूरी को तय करने में लगने वाले समय में अंतर (यानी |\(T_1 - T_2\)|) दिया जाता है, तो:
दूरी = \(|T_1 - T_2| \frac{(S_1 × S_2)}{|S_1 - S_2|}\)
जब दो व्यक्ति समान दूरी, \(S_1\) और \(S_2\) किमी/घंटा की अलग-अलग गति से तय करते हैं और उनके द्वारा इस दूरी को तय करने में लगने वाले समय (यानी \(T_1 + T_2\)) का योग दिया जाता है, तो:
दूरी = \((T_1 + T_2) \frac{(S_1 × S_2)}{(S_1 + S_2)}\)
प्रश्न. दो व्यक्ति समान दूरी को 20 किमी/घंटा और 30 किमी/घंटा की गति से तय करते हैं। यदि दूरी तय करने में उनके द्वारा लिए गए समय में 5 घंटे का अंतर है, तो दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
जब दो व्यक्ति समान दूरी \(S_1\) और \(S_2\) किमी/घंटा की गति से तय करते हैं और इस दूरी को तय करने में लगने वाले समय में अंतर दिया जाता है, तो:
दूरी = \(|T_1 - T_2| \frac{(S_1 × S_2)}{|S_1 - S_2|} = \frac{5 (20 × 30)}{(30 - 20)}\) = 300 किमी
दोनों व्यक्तियों द्वारा तय की गई दूरी समान है।
20 × T = 30 × (T - 5)
या 2T = 3T - 15
या T = 15 घंटे
अत: दूरी = 20 × T = 20 × 15 = 300 किमी
20 से 30 किमी/घंटा की गति में प्रतिशत वृद्धि = 50%
चूंकि दूरी स्थिर है, लिए गए समय में प्रतिशत कमी आनुपातिक होगी, अर्थात (50/150) × 100 = 100/3%
तो, 100/3% ≡ 5 घंटे
और इसलिए, 100% ≡ 5 × 3 = 15 घंटे
अत: दूरी = गति × समय = 20 × 15 = 300 किमी
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