निर्देशांक ज्यामिति - त्रिभुज (Coordinate Geometry - Triangle)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Triangle, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• निर्देशांक ज्यामिति क्या होती है?
• निर्देशांक ज्यामिति में निर्देशांक और बिंदुओं की स्थिति ढूँढना
• रेखाओं का समीकरण
• निर्देशांक ज्यामिति - दो रेखाएं
• त्रिभुज
• चतुर्भुज
• वृत्त का समीकरण
• बिंदु का प्रतिबिंब

इस लेख में, हम त्रिभुजों से संबंधित निर्देशांक ज्यामिति की मूल अवधारणाओं और सूत्रों के बारे में जानने जा रहे हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a Triangle)

हम त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं यदि हम इसके शीर्षों (vertices) के निर्देशांक जानते हैं। आइए देखें कैसे।

यदि ABC के शीर्ष A ($x_1$, $y_1$), B ($x_2$, $y_2$) और C ($x_3$, $y_3$) हैं, तो:

आरेख:

Coordinate Geometry

त्रिभुज का क्षेत्रफल, ∆ = $\frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{2} |x_1 (y_2 – y_3) + x_2 (y_3 – y_1) + x_3 (y_1 – y_2)| = \frac{1}{2} |(x_1 y_2 – x_2 y_1) + (x_2 y_3 – x_3 y_2) + (x_3 y_1 – x_1 y_3)|$

नोट

हमने उपरोक्त सूत्र में मापांक चिह्न (modulus signs) रखे हैं, क्योंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल (या किसी अन्य आकृति का) कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता है।

वास्तव में, हम किसी भी बहुभुज के लिए उपरोक्त सूत्र का सामान्यीकरण कर सकते हैं।

यदि हमारे पास एक बहुभुज (polygon) है, जिसके शीर्ष हैं ($x_1$, $y_1$), ($x_2$, $y_2$), ($x_3$, $y_3$) .... ($x_n$, $y_n$ ), तो:

बहुभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |(x_1 y_2 – x_2 y_1) + (x_2 y_3 – x_3 y_2) + (x_3 y_4 – x_4 y_3) + .... + (x_{n - 1} y_n – x_n y_{n - 1}) + (x_n y_1 – x_1 y_n)|$

त्रिभुज में महत्वपूर्ण बिंदुओं के निर्देशांक (Coordinates of Important Points in a Triangle)

केन्द्रक के निर्देशांक (Coordinates of Centroid)

यदि ABC के शीर्ष A ($x_1$, $y_1$), B ($x_2$, $y_2$) और C ($x_3$, $y_3$) हैं, तो:
इसके केन्द्रक के निर्देशांक = $(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$

नोट

केन्द्रक (Centroid) (G), त्रिभुज की माध्यिकाओं (medians) का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

Geometry

माध्यमिका (Median) एक रेखाखंड है, जो त्रिभुज के किसी भी शीर्ष को उसकी विपरीत भुजा के मध्य-बिंदु से मिलाती है।

अन्तःकेन्द्र के निर्देशांक (Coordinates of Incentre)

यदि ABC के शीर्ष A ($x_1$, $y_1$), B ($x_2$, $y_2$) और C ($x_3$, $y_3$) हैं, और उनके विपरीत भुजाओं की लंबाई a, b और c है, तो:
इसके अन्तःकेन्द्र के निर्देशांक = $(\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a + b + c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a + b + c})$

नोट

अन्तःकेन्द्र (Incentre) त्रिभुज के कोणों के आंतरिक समद्विभाजकों (internal bisectors) का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

Geometry

परिकेन्द्र के निर्देशांक (Coordinates of Circumcenter)

यदि ABC के शीर्ष A ($x_1$, $y_1$), B ($x_2$, $y_2$) और C ($x_3$, $y_3$) हैं, तो:
इसके परिकेन्द्र के निर्देशांक = $(\frac{x_1 \hspace{1ex} sin 2A \hspace{1ex} + \hspace{1ex} x_2 \hspace{1ex} sin 2B \hspace{1ex} + \hspace{1ex} x_3 \hspace{1ex} sin 2C}{sin 2A + sin 2B + sin 2C}, \frac{y_1 \hspace{1ex} sin 2A \hspace{1ex} + \hspace{1ex} y_2 \hspace{1ex} sin 2B \hspace{1ex} + \hspace{1ex} y_3 \hspace{1ex} sin 2C}{sin 2A + sin 2B + sin 2C})$

नोट

परिकेन्द्र (Circumcenter) किसी त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजकों (perpendicular bisectors of the sides) का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

Geometry

लम्ब केंद्र के निर्देशांक (Coordinates of Orthocenter)

यदि ABC के शीर्ष A ($x_1$, $y_1$), B ($x_2$, $y_2$) और C ($x_3$, $y_3$) हैं, तो:
इसके लम्ब केंद्र के निर्देशांक = $(\frac{x_1 \hspace{1ex} tan A \hspace{1ex} + \hspace{1ex} x_2 \hspace{1ex} tan B \hspace{1ex} + \hspace{1ex} x_3 \hspace{1ex} tan C}{tan A + tan B + tan C}, \frac{y_1 \hspace{1ex} tan A \hspace{1ex} + \hspace{1ex} y_2 \hspace{1ex} tan B \hspace{1ex} + \hspace{1ex} y_3 \hspace{1ex} tan C}{tan A + tan B + tan C})$

नोट

लम्ब केंद्र (Orthocenter) किसी त्रिभुज के शीर्ष-लंबों (altitudes) का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

Geometry