निर्देशांक ज्यामिति - दो रेखाएं (Coordinate Geometry - Two Lines)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Coordinate Geometry - Two Lines, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• निर्देशांक ज्यामिति क्या होती है?
• निर्देशांक ज्यामिति में निर्देशांक और बिंदुओं की स्थिति ढूँढना
• रेखाओं का समीकरण
• निर्देशांक ज्यामिति - दो रेखाएं
• त्रिभुज
• चतुर्भुज
• वृत्त का समीकरण
• बिंदु का प्रतिबिंब

इस लेख में, हम दो रेखाओं (एक ही तल पर) से संबंधित कुछ अवधारणाओं पर चर्चा करेंगे - प्रतिच्छेद (intersecting) या समानांतर (parallel)

कैसे पता करें कि दो रेखाएं समानांतर हैं या नहीं? (How to find whether two lines are parallel or not?)

एक ही तल पर दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि उनके ढलान समान हों। अन्यथा, वे किसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे।

यदि दो रेखाएं y = \(m_1x + c_1\) और y = \(m_2x + c_2\) हैं, तो:
वे समानांतर होंगे यदि \(m_1 = m_2\)
\(m_1\) और \(m_2\) रेखाओं के ढलान हैं।

यदि दो रेखाएं \(a_1x + b_1y + c_1\) = 0 और \(a_2x + b_2y + c_2\) = 0 हैं, तो:
वे समानांतर होंगे यदि \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\), या \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) = 0

कैसे पता करें कि दो रेखाएँ लंबवत हैं या नहीं? (How to find whether two lines are perpendicular or not?)

एक ही तल पर दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनके ढलानों का गुणनफल -1 हो।

यदि दो रेखाएं y = \(m_1x + c_1\) और y = \(m_2x + c_2\) हैं, तो:
वे लंबवत होंगी यदि \(m_1 × m_2\) = -1
\(m_1\) और \(m_2\) रेखाओं के ढलान हैं।

यदि दो रेखाएं \(a_1x + b_1y + c_1\) = 0 और \(a_2x + b_2y + c_2\) = 0 हैं, तो:
वे लंबवत होंगे यदि \(\frac{a_1}{b_1} = -\frac{b_2}{a_2}\), या \(a_1 a_2 + b_1 b_2\) = 0

समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी (Distance between Parallel lines)

समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी हमेशा समान रहती है। इसे खोजने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

दो समानांतर रेखाओं \(ax + by + c_1\) = 0 और \(ax + by + c_2\) = 0 के बीच की दूरी है:
d = \(\frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु (Point of intersection of two lines)

यदि हमारे पास दो रेखाएं \(a_1x + b_1y + c_1\) = 0 और \(a_2x + b_2y + c_2\) = 0 हैं, तो:

\(\frac{x}{b_1 c_2 – b_2 c_1} = \frac{y}{c_1 a_2 – c_2 a_1} = \frac{1}{a_1 b_2 – a_2 b_1}\)

इस प्रकार, इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु = \(\frac{b_1 c_2 – b_2 c_1}{a_1 b_2 – a_2 b_1}, \frac{c_1 a_2 – c_2 a_1}{a_1 b_2 – a_2 b_1}\)
Where \(a_1 b_2 – a_2 b_1\) ≠ 0

दो रेखाओं के बीच का कोण (Angle between two lines)

यदि θ दो रेखाओं y = \(m_1x + c_1\) और y = \(m_2x + c_2\) के बीच का कोण है, तो:
tan θ = \(|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_2 m_1}|\) or \(|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|\)

यदि θ दो रेखाओं \(a_1x + b_1y + c_1\) = 0 और \(a_2x + b_2y + c_2\) = 0 के बीच का कोण है, तो:
tan θ = \(\frac{a_2 b_1 – a_1 b_2}{a_1 a_2 + b_1 b_2}\)

तीन रेखाओं के संगामिति की शर्त (Condition of concurrency of three lines)

यदि तीन रेखाएँ एक ही उभयनिष्ठ बिंदु पर मिलती हैं, तो वे तीन रेखाएँ समवर्ती (concurrent) कहलाती हैं।

तीन रेखाएँ \(a_1x + b_1y + c_1\) = 0, \(a_2x + b_2y + c_2\) = 0, और \(a_3x + b_3y + c_3\) = 0, समवर्ती हैं यदि:
\(\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\) = 0

या \(a_1 (b_2 c_3 – b_3 c_2) – b_1 (a_2 c_3 – a_3 c_2) + c_1 (a_2 b_3 – a_3 b_2)\) = 0

सारांश

यदि हमारे पास दो रेखाएँ \(a_1x + b_1y + c_1\) = 0 और \(a_2x + b_2y + c_2\) = 0 हैं, तो:

• वे संपाती (Coincident) होंगी यदि उपरोक्त दो समीकरणों के अनंत हल हैं। ऐसा तब होगा जब: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\)

• यदि उपरोक्त दो समीकरणों का कोई हल नहीं है तो वे समानांतर (Parallel) होंगी। ऐसा तब होगा जब: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} ≠ \frac{c_1}{c_2}\)

• यदि उपरोक्त दो समीकरणों के अद्वितीय समाधान (unique solutions) हैं, तो वे लंबवत (Perpendicular) होंगी, और \(\frac{a_1}{b_1} = -\frac{b_2}{a_2}\)

• यदि उपरोक्त दो समीकरणों के अद्वितीय समाधान (unique solutions) हैं, और \(\frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}\) तो वे अंतर्विभाजक (Intersecting, परस्पर-छेदन करती हुई) होंगी।