विभिन्न प्रकार के क्रमचय प्रश्न (Types of Permutation Questions)
Overview
इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Types of Permutation Questions, in Hindi
इस लेख में, हम उन विभिन्न तरह के प्रश्नों पर एक नज़र डालेंगे जो क्रमचय (Permutation) की अवधारणा पर बनते हैं।
n विशिष्ट चीज़ें (n distinct items)
सभी वस्तुओं को व्यवस्थित करना (Arranging all items)
सभी n विशिष्ट वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = \(P^n_n\) = n!
प्र. 9 व्यक्तियों को एक पंक्ति में कितने प्रकार से व्यवस्थित किया जा सकता है?
व्याख्या:
तो, संभावित तरीकों की संख्या = \(P^9_9\) = 9!
उपसमूहों के मामले (Cases of Subgroups)
कुछ मामलों में अलग-अलग विशिष्ट चीज़ें होती हैं, लेकिन ऐसे बड़े समूह के भीतर उपसमूह होते हैं।
आइए कुछ उदाहरण देखें:
प्रश्न. हम 'BHUTAN' शब्द के अक्षरों को कितने प्रकार से व्यवस्थित कर सकते हैं, ताकि स्वर (vowels) हमेशा एक साथ आएं?
व्याख्या:
चूंकि स्वर हमेशा एक साथ होने चाहियें, हम दो स्वरों UA को एक अक्षर के रूप में मानेंगे।
तो, हमें मूल रूप से इन 5 अक्षरों को व्यवस्थित करना होगा - B, H, T, N, (UA)
इन 5 अलग-अलग अक्षरों को व्यवस्थित करने के संभावित तरीकों की संख्या = 5! = 120 तरीके
इसके अलावा, स्वरों (UA) को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = 2! = 2
तो, कुल संभव तरीके = 120 × 2 = 240 तरीके
n में से r चीज़ों को व्यवस्थित करना (बिना दोहराव के)
n अलग-अलग चीज़ों से r वस्तुओं को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या (पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है) = \(P^n_r\)
समाधान इस प्रकार के होते हैं: n × (n - 1) × (n - 2) ... × (n - m)
नोटयहां हम स्थिति की कल्पना करने के लिए बक्सों/डिब्बों का उपयोग करते हैं।
पहला डिब्बा n तरीकों से भरा जा सकता है।
दूसरा डिब्बा n-1 तरीकों से भरा जा सकता है (क्योंकि दोहराव की अनुमति नहीं है)
तीसरे बॉक्स को n-2 तरीकों से भरा जा सकता है और इसी तरह आगे भी।
तो, \(r^{th}\) बॉक्स को n-(r-1) या n-r+1 तरीकों से भरा जा सकता है।
तो, सभी r बक्सों को भरने के तरीकों की संख्या (अर्थात पहला डिब्बा और दूसरा डिब्बा और ... और rth डिब्बा) = n × (n-1) × (n-2) × (n-3) … (n -r+1) = \(\frac{n!}{(n-r)!} = P^n_r\)
प्र. अंकों 1, 2, 3, 4 और 5 का उपयोग करके तीन अंकों की कितनी संख्याएं बनाई जा सकती हैं, बिना किसी अंक को दोहराए ?
स्पष्टीकरण :
सभी 5 अंक अलग हैं।
n अलग-अलग चीज़ों से r वस्तुओं को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या (पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है) = \(P^n_r = P^5_3\) = 5 × 4 × 3 = 60
सभी 5 अंक अलग हैं।
संख्या का पहला अंक दिए गए 5 अंकों में से कोई भी हो सकता है। तो, तरीकों की संख्या = 5
संख्या का दूसरा अंक शेष 4 अंकों में से कोई भी हो सकता है (क्योंकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है)। तो, तरीकों की संख्या = 4
इसी प्रकार, संख्या का तीसरा अंक शेष 3 अंकों में से कोई भी हो सकता है (क्योंकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है)। तो, तरीकों की संख्या = 3
| अंक 1 | अंक 2 | अंक 3 |
|---|---|---|
| 5 संभावित तरीके | 4 संभावित तरीके | 3 संभावित तरीके |
इसलिए, ऐसी संख्या बनाने के तरीकों की संख्या (अर्थात पहला अंक और दूसरा अंक और तीसरा अंक चुनने के तरीके) = 5 × 4 × 3 = 60
(याद रखें 'AND' के साथ हम गुणन का उपयोग करते हैं)
n में से r चीज़ों को व्यवस्थित करना (पुनरावृत्ति की अनुमति है)
n चीजों के क्रमचयों की संख्या (अर्थात व्यवस्था करने के तरीके), एक बार में r लेते हुए (जिसमें प्रत्येक चीज़ को एक बार, दो बार, .... r बार तक दोहराया जा सकता है) = \(n^r\)
नोटयहाँ भी हम स्थिति की कल्पना करने के लिए बक्सों का उपयोग करते हैं।
पहला डिब्बा n तरीकों से भरा जा सकता है।
दूसरा बॉक्स भी n तरीकों से फिर से भरा जा सकता है (क्योंकि दोहराव की अनुमति है)
तीसरे डिब्बे को भी n तरीकों से भरा जा सकता है।
तो, \(r^{th}\) बॉक्स को भी n तरीकों से भरा जा सकता है।
तो, सभी r बक्सों को भरने के तरीकों की संख्या (अर्थात पहला डिब्बा और दूसरा डिब्बा और…. और rth डिब्बा) = n × n × n × n … r = \(n^r\)
Q. प्र. 3 अलग-अलग गेंदों को 4 अलग-अलग डिब्बों में कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है, जहाँ किसी भी डिब्बे में कितनी भी गेंदें हो सकती हैं?
स्पष्टीकरण :
n चीजों के क्रमचयों की संख्या (अर्थात व्यवस्था करने के तरीके), एक बार में r लेकर (जिसमें प्रत्येक चीज़ को एक बार, दो बार, .... r बार तक दोहराया जा सकता है) = \(n^r = 4^3\) = 64
सभी गेंदें और डिब्बे अलग हैं।
पहली गेंद दिए गए 4 डिब्बों में से किसी में भी रखी जा सकती है। तो, तरीकों की संख्या = 4
दूसरी गेंद दिए गए 4 डिब्बों में से किसी में भी रखी जा सकती है (क्यूंकि दोहराव की अनुमति है)। तो, तरीकों की संख्या = 4
इसी प्रकार, तीसरी गेंद भी दिए गए 4 डिब्बों में से किसी में भी रखी जा सकती है। तो, तरीकों की संख्या = 4
| डिब्बा 1 | डिब्बा 2 | डिब्बा 3 | डिब्बा 4 |
|---|
इसलिए, सभी गेंदों को डिब्बों में रखने के तरीकों की संख्या (यानी पहली गेंद और दूसरी गेंद और तीसरी गेंद के लिए संभावित प्लेसमेंट विकल्प) = 4 × 4 × 4 = \(4^3\) = 64
(याद रखें 'AND' के साथ हम गुणन का उपयोग करते हैं)
एक चेतावनी4 बक्सों में 3 गेंदों के क्रमचयों (अर्थात व्यवस्था करने के तरीकों) की संख्या = \(4^3\) (नाकि \(3^4\))
सोचने का सही तरीका: प्रत्येक गेंद को कितने डिब्बों में रखा जा सकता है।
सोचने का गलत तरीका: प्रत्येक डिब्बे में कितनी गेंदें आ सकती हैं।
आइए देखें कि यह गलत क्यों है।
पहले डिब्बे में 3 गेंदों में से कोई भी हो सकती है।
दूसरे डिब्बे में 3 गेंदों में से कोई भी हो सकती है।
तीसरे डिब्बे में 3 गेंदों में से कोई भी हो सकती है।
चौथे डिब्बे में 3 में से कोई भी गेंद हो सकती है।
तो, तरीकों की संख्या = \(3^4\) = 81 (लेकिन सही उत्तर है \(4^3\) = 64)
यहां हमने कुछ असंभव मामलों को भी गिना है। उदाहरण के लिए, यदि पहले डिब्बे में सभी 3 गेंदें हैं, तो अन्य डिब्बों में कोई गेंद नहीं हो सकती है।
n चीज़ें - जिसमें कुछ या सभी समान हों (some or all identical)
अब, आइए n चीज़ों के क्रमचयों का अध्ययन करें, जिसमें कुछ या सभी समान हैं।
सभी चीज़ें समान (All items identical)
सभी समान वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = 1
(यदि सभी चीज़ें समान हैं, तो केवल एक ही तरीका हो सकता है जिससे इन सभी वस्तुओं को व्यवस्थित किया जा सके। यानी, आप उन्हें कैसे भी व्यवस्थित करें, पैटर्न समान दिखाई देगा।)
कुछ चीज़ें समान हैं (Some items identical)
सभी n वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या, जिसमें p एक प्रकार की हैं, और q अन्य प्रकार की हैं (और बाकी सभी अलग हैं) = \(\frac{n!}{(p! q!)}\)
यहाँ, 'एक प्रकार' का तात्पर्य समान वस्तुओं (identical items) से है
(यदि समान वस्तुओं के अधिक समूह हैं, तो वही पैटर्न जारी रहेगा)
प्र. शब्द 'INDIA' के अक्षरों को हम कितने प्रकार से व्यवस्थित कर सकते हैं?
व्याख्या:
सभी n वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या, जिसमें p एक प्रकार की हैं, और q अन्य प्रकार की हैं (और बाकी सभी अलग हैं) = \(\frac{n!}{(p! q!)} = \frac{5!}{(2!)} = \frac{120}{2}\) = 60
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