सरलीकरण सम्बंधित अवधारणाएं, तरीके और तरकीबें (Simplification Concepts, Methods and Tricks)

Overview

इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Simplification Concepts, Methods and Tricks, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• तेज गुणा करने के तरीके
• वर्ग और घन ढूँढना
• वर्गमूल और घनमूल कैसे ज्ञात करें
• सरलीकरण सम्बंधित अवधारणाएं, तरीके और तरकीबें
• घातांक क्या होते हैं?
• करणी क्या होते हैं?
• लघुगणक क्या होते है?

इस लेख में, हम जटिल दिखने वाले गणितीय व्यंजकों (mathematical expressions) को सरल बनाने की विभिन्न विधियों के बारे में जानेंगे।

BODMAS आधारित सरलीकरण (BODMAS-based Simplification)

सरलीकरण के सबसे सरल प्रकार के प्रश्न BODMAS नियम के अनुप्रयोग पर आधारित होते हैं, अर्थात जोड़, घटाव, गुणा, भाग संचालन/operations और उचित क्रम में विभिन्न कोष्ठकों/brackets को लागू करने की हमारी क्षमता।

तो, पहली चीज जो हम करेंगे वह है BODMAS नियम के बारे में सीखना। आप में से अधिकांश लोगों को इसके बारे में पहले से ही पता होगा। लेकिन यदि आपको आवश्यकता महसूस हो, तो आप इसे यहाँ दोबारा पढ़ सकते हैं।

BODMAS नियम क्या है? (What is BODMAS rule?)

अंकगणितीय व्यंजकों को सरल बनाने के लिए, जिसमें जोड़, भाग, कोष्ठक आदि जैसे विभिन्न संक्रियाएं शामिल हैं, हमें संक्रियाओं के पूर्व-निर्धारित अनुक्रम का पालन करने की आवश्यकता है। अर्थात्, अंकगणितीय संक्रियाओं का एक पदानुक्रम (hierarchy of arithmetic operations) है, जिसे BODMAS नियम कहा जाता है।

वास्तव में, BODMAS शब्द मूल रूप से इन ऑपरेटरों के क्रम को याद रखने के लिए ही है। आइए देखें कि इसका क्या मतलब है।

• B - ब्रैकेट के लिए है। इसका पदानुक्रम (hierarchy) उच्चतम है। अतः, अगर किसी अंकगणितीय व्यंजक में कोष्ठक होते हैं, हम उन्हें पहले हल करेंगे।
• O - Of के लिए है। यह मूल रूप से गुणा है, लेकिन विभाजन की तुलना में पदानुक्रम में ऊंचा है।
• D - भाग के लिए है (बाएं से दाएं) और M - गुणा के लिए है (बाएं से दाएं)
• A - जोड़ के लिए है (बाएं से दाएं) और S - घटाव के लिए है (बाएं से दाएं)

अतः, शब्द "BODMAS" एक स्मृति चिन्ह (mnemonic) के रूप में काम करता है, और हमें इस क्रम को याद रखने में मदद करता है।

नोट

पदानुक्रम में भाग और गुणन को समान माना जाता है। हम किसी दिए गए व्यंजक में, उन्हें बाएँ से दाएँ हल करते हैं।
उदाहरण के लिए, 12 ÷ 6 x 3 = (12 ÷ 6) x 3 = 2 x 3 = 6
और 12 x 6 ÷ 3 = (12 x 6) ÷ 3 = 72 ÷ 3 = 24

इसी तरह, जोड़ और घटाव को पदानुक्रम में समान माना जाता है। हम किसी दिए गए व्यंजक में, उन्हें बाएँ से दाएँ हल करते हैं।

वास्तव में, हल करते समय आप ऋण चिह्न को भी संख्या का भाग मान सकते हैं, अर्थात हम केवल संख्याएँ जोड़ते हैं, उनमें से कुछ धनात्मक और कुछ ऋणात्मक हो सकती हैं।

उदाहरण के लिए, 2 + 3 - 4 = 2 + 3 + (-4) = 5 + (-4) = 1

आइए, कुछ उदाहरण देखें।

प्र. नीचे दिए गए व्यंजक को सरल कीजिए:

3 + 4 x 5

व्याख्या:

प्र. नीचे दिए गए व्यंजक को सरल कीजिए:

12 ÷ 4 x 5

व्याख्या:

प्र. नीचे दिए गए व्यंजक को सरल कीजिए:

6 - 11 + 2

व्याख्या:

कोष्ठक के प्रकार (Types of Brackets)

अब, हम पहले से ही जानते हैं कि किसी दिए गए अंकगणितीय व्यंजक में सबसे पहले कोष्ठकों को हल किया जाना चाहिए। लेकिन कोष्ठक चार प्रकार के होते हैं, और उनका अपना पदानुक्रम भी होता है।

• Vinculum - संख्याओं के शीर्ष पर एक बार/रेखा द्वारा दर्शाया जाता है। उदा. $\overline{2 + 3}$. इसका पदानुक्रम उच्चतम है।

• साधारण ब्रैकेट (Simple Bracket) - ( ) द्वारा दर्शाया जाता है। कोष्ठकों के पदानुक्रम में दूसरा।
• Curly Bracket - { } द्वारा दर्शाया जाता है। कोष्ठकों के पदानुक्रम में तीसरा।
• वर्गाकार कोष्ठक (Square Bracket) - [ ] द्वारा दर्शाया जाता है। कोष्ठकों के पदानुक्रम में चौथा।

प्र. नीचे दिए गए व्यंजक को सरल कीजिए:

[6 - {5 + (4 + $\overline{2 + 3}$) - 1} - 2]

व्याख्या:

नोट

यदि आप इस अध्याय में बेहतर करना चाहते हैं, तो आपको अपनी गणना में सुधार करना चाहिए। इस उद्देश्य के लिए आपको चाहिए:

• गुणा, भाग, आदि करने के तेज़ तरीके सीखें।
• वर्ग, घन और मूल खोजने के तेज़ तरीके जानें।
• बार-बार आने वाली संख्याओं से परिचित हों: 30 तक वर्ग, 12 तक घन, 7 तक वर्गमूल, 20 तक टेबल और शायद कुछ log मान भी सीखें (जैसे log 2, log 3, log 5)

आपके संदर्भ के लिए नीचे कुछ तालिकाएँ दी गई हैं:

Simplification

Simplification

Simplification

प्रतिशत आधारित सरलीकरण (Percentage-based Simplification)

प्र. नीचे दिए गए व्यंजक को सरल कीजिए:

60 के $\frac{2}{3}$ का 20%

व्याख्या:

उपरोक्त उदाहरण सरल था। लेकिन कभी-कभी हमें कुछ मुश्किल गणनाओं का सामना करना पड़ सकता है। उनके लिए हमारे तरकश में और विधियां भी हैं| आइए, कुछ उदाहरणों का उपयोग करके उन्हें समझें।

प्रतिशत ट्रिक 1: फूट डालो और राज करो (Divide and Rule)

हम दिए गए व्यंजक में संख्या या प्रतिशत को विभाजित कर सकते हैं। यह हमारी गणना को बहुत आसान कर सकता है।

50 का 32.5% = 50 का (30% + 2.5%) = 50 का 30% + 50 का 2.5%
= 15 + 50 का 2% + 50 का 0.5%
= 15 + 1 + 0.25 = 16.25

44 का 30% = (40 + 4) का 30% = 40 का 30% + 4 का 30%
= 12 + 1.2 = 13.2

प्रतिशत ट्रिक 2: सामान्य प्रतिशत विधि (Common percentage method)

यह कुछ हद तक ऊपर बताई गई ट्रिक के समान है। यहां, हम दिए गए दो या दो से अधिक व्यंजकों में से एक सामान्य प्रतिशत निकालते हैं, और इस प्रकार उन प्रतिशत मानों को कम कर देते हैं, जिन पर हमें गणना करने की आवश्यकता है।

प्र. 250 का 27% + 350 का 22% + 400 का 21% = ?

(a) 230   (b) 236.5    (c) 218.5   (d) 228.5

व्याख्या:

प्रतिशत ट्रिक 3: अदला-बदली (Swap)

हम व्यंजक के मान को बदले बिना, संख्या और प्रतिशत की अदला-बदली कर सकते हैं।
अर्थात्, y का x% = x का y%

50 का 22% = 22 का 50% = 11

प्रतिशत ट्रिक 4: भिन्न रूपांतरण (Fraction Conversion)

कुछ प्रतिशत ऐसे होते हैं जिन्हें आसानी से भिन्नों में बदला जा सकता है। यह हमें कुछ बहुत ही जटिल दिखने वाले प्रतिशत मानों के साथ बहुत मदद करता है।

24 का 83.33% = 240 का 8.333%
= $\frac{1}{12}$ × 240 = 20

नोट

यह देखने के लिए कि हम प्रतिशत को भिन्न में कैसे बदलते हैं, और ऐसे कई बार सामने आने वाले प्रतिशत मानों की सूची देखने के लिए, आप हमारे प्रतिशत वाले लेख को पढ़ सकते हैं।

अंक आधारित सरलीकरण (Digit-based Simplification)

कुछ सरल जोड़/घटाव/गुणा व्यंजकों को हल करने के लिए, हम अंक आधारित तरकीबों का उपयोग कर सकते हैं, या गलत उत्तरों को एक-एक करके समाप्त कर सकते हैं।

कुछ नियम हैं जिन्हें हमें समझने की जरूरत है।

अंकों का योग नियम (Digit sum rule)

किसी दी गई संख्या के अंकों का योग हमेशा 0 और 9 के बीच होता है।

उदाहरण के लिए, 12345 के अंकों का योग = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 = 1 + 5 = 6

नोट

किसी संख्या का अंक-योग ज्ञात करने में, हम अंक 9 या उन अंकों को अनदेखा कर सकते हैं जो जुड़कर 9 होते हैं।

उदाहरण के लिए, 196385 संख्या का अंक-योग ज्ञात करते समय, हम अंक 9 और (1 + 8) और (6 + 3) को अनदेखा कर सकते हैं। अत: 196385 का अंक-योग = 5

हम इसे दोबारा जांच सकते हैं।

196385 = 1 + 9 + 6 + 3 + 8 + 5 = 32 = 3 + 2 = 5

प्र. 3468 + 1258 – 596 – x = 3321 + 962

(a) 866   (b) 874    (c) 827   (d) 846

व्याख्या:

प्र. 129 और 35 का गुणनफल क्या है?

(a) 4510   (b) 4505    (c) 4515   (d) 4415

व्याख्या:

प्र. 370 का 88% + 210 का 24% - x = 118

(a) 268   (b) 258    (c) 246   (d) 356

व्याख्या:

इकाई अंक नियम (Unit digit rule)

यदि दो या दो से अधिक विकल्पों के अंकों का योग समान है, तो हम शेष विकल्पों को समाप्त करने के लिए इकाई अंक नियम का उपयोग करेंगे।

इकाई अंक नियम में हम केवल संख्याओं के इकाई अंकों (अर्थात केवल अंतिम अंक) पर ध्यान केंद्रित करते हैं, और बाकी को अनदेखा कर देते हैं।

प्र. 4368 + 2158 – 596 – x = 3421 + 1262

(a) 1066   (b) 1274    (c) 1247   (d) 1384

व्याख्या:

दहाई अंक का नियम (Tens digit rule)

यदि इकाई अंक भी समान है, तो हम दहाई अंकों के नियम का प्रयोग करेंगे।

दहाई अंक नियम में हम केवल इकाई और दहाई के अंकों (यानी केवल अंतिम दो अंकों) पर ध्यान केंद्रित करते हैं, और बाकी को अनदेखा कर देते हैं।

प्र. 7960 + 2956 – 8050 + 4028 = x

(a) 6984   (b) 6884    (c) 6894   (d) 5884

व्याख्या:

घातांक आधारित सरलीकरण (Indices-based Simplification)

कुछ सरलीकरण प्रश्न, घात अथवा घातांक (Indices) पर आधारित होते हैं, जैसे की वर्ग, घन, वर्गमूल, घनमूल, आदि।

नोट

घातांकों (Indices) का और अधिक विस्तार से अध्ययन करने के लिए, आप हमारे इस लेख को पढ़ सकते हैं।

प्र. $21^2 + 17^2 – 11^2$ = ?

(a) 609   (b) 509    (c) 615   (d) 719

व्याख्या:

प्र. $13^{36} × 13^{-18} = 169^2$ × ?

(a) $13^{15}$ (b) $13^{11}$ (c) $13^{12}$ (d) $13^{14}$

व्याख्या:

बीजगणित आधारित सरलीकरण (Algebra-based Simplification)

कुछ बीजगणितीय सूत्रों को सीधे लागू करके कुछ सरलीकरण प्रश्नों को हल किया जा सकता है। हम इन बीजगणितीय सूत्रों का उपयोग संख्याओं की कुछ घातों को खोजने के लिए भी कर सकते हैं, और यहां तक ​​कि यह हमारे लिए कुछ गुणाओं को भी आसान बना सकते हैं।

उनके बारे में जानने के लिए, आप हमारे बीजगणित लेख को पढ़ सकते हैं, और वहां से मूल बीजगणितीय सूत्र सीख सकते हैं। यहां, हम उनके आवेदन भाग पर अधिक ध्यान देंगे।

ट्रिक 1: $(x + y)^2 \hspace{1ex} और \hspace{1ex} (x – y)^2$

हम जानते हैं कि:
$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = (x – y)^2 + 4xy$
$(x – y)^2 = x^2 + y^2 – 2xy = (x + y)^2 - 4xy$

तो, $108^2 = (100 + 8)^2 = 100^2 + 8^2 + (2 × 100 × 8) \hspace{1ex} \hspace{1ex} [क्यूंकि \hspace{1ex} (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy]$

इसी तरह, $92^2 = (100 - 8)^2 = 100^2 + 8^2 - (2 × 100 × 8) \hspace{1ex} \hspace{1ex} [क्यूंकि \hspace{1ex} (x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy]$

प्र. नीचे दिए गए व्यंजक को सरल कीजिए:

51 × 51 + 42 × 42 + 2 × 51 × 42

व्याख्या:

प्र. नीचे दिए गए व्यंजक को सरल कीजिए:

51 × 51 + 49 × 49

व्याख्या:

ट्रिक 2: $x^2 – y^2 = (x + y)(x – y)$

हम जानते हैं कि:
$x^2 – y^2 = (x + y)(x – y)$

तो, 18 × 22 = (20 - 2) × (20 + 2) = $20^2 - 2^2 \hspace{1ex} \hspace{1ex} [क्यूंकि \hspace{1ex} x^2 – y^2 = (x + y)(x – y)]$
= 400 - 4 = 396

ट्रिक 3: $(x + y)^3 \hspace{1ex} और \hspace{1ex} (x – y)^3$

हम जानते हैं कि:
$(x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy (x + y)$
$(x – y)^3 = x^3 – y^3 – 3xy(x – y)$

प्र. नीचे दिए गए व्यंजक को सरल कीजिए:

$1.7^3 + 1.3^3 + 3 × 1.7 × 1.3 (1.7 + 1.3)$

व्याख्या:

ट्रिक 4: $x^3 + y^3 \hspace{1ex} और \hspace{1ex} x^3 - y^3$

हम जानते हैं कि:
$x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 + y^2 – xy) = (x + y)^3 – 3xy (x + y)$
$x^3 – y^3 = (x – y) (x^2 + y^2 + xy) = (x – y)^3 + 3xy (x – y)$

प्र. नीचे दिए गए व्यंजक को सरल कीजिए:

$\frac{108 × 108 × 108 \hspace{1ex} - \hspace{1ex} 18 × 18 × 18}{108 × 108 \hspace{1ex} + \hspace{1ex} 108 × 18 \hspace{1ex} + \hspace{1ex} 18 × 18}$

व्याख्या:

सन्निकटन ट्रिक (Approximation Trick)

उपरोक्त सभी प्रकार की सरलीकरण विधियों में, हम कभी-कभी अपनी गणना को आसान बनाने के लिए सन्निकटन ट्रिक का उपयोग कर सकते हैं।

हम ऐसा इसलिए कर सकते हैं क्योंकि वस्तुनिष्ठ एप्टीटुड परीक्षाओं में, हमें सटीक उत्तर खोजने की आवश्यकता नहीं होती है, बल्कि हमें केवल सही विकल्प का चयन करने की आवश्यकता होती है। यदि विकल्प बहुत करीब नहीं हैं, तो हम निश्चित रूप से इस ट्रिक का उपयोग कर सकते हैं।

प्र. $\frac{3805.99}{380.6} × \sqrt{485} × 1.5001$ = 11 × ?

(a) 33   (b) 30    (c) 27   (d) 35

व्याख्या: