को-प्राइम क्या होते हैं? (What are Co-primes?)

Overview

इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - What are Co-primes?, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• गणित में संख्याओं के प्रकार
• क्रमागत संख्याएं क्या होती हैं?
• भिन्न क्या होता है?
• को-प्राइम क्या होते हैं?
• क्रमगुणित की अवधारणा
• गुणनखंड और गुणज क्या होते हैं?
• चक्रीयता विधि क्या होती है?
• शेष प्रमेय
• कई संख्याओं के शेष
• विभाज्यता की अवधारणा
• LCM और HCF की अवधारणा

सह-अभाज्य संख्याएँ (को-प्राइम, Co-prime) सापेक्ष रूप से अभाज्य संख्याएँ (Relatively prime numbers) भी कहलाती हैं।

सह-अभाज्य संख्याएँ क्या होती हैं? (What are Co-prime numbers?)

वे दो प्राकर्तिक संख्याएँ (natural numbers) होती हैं, जिनका 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factor) नहीं है, अर्थात उनका H.C.F. 1 है
जैसे की, (8 and 9), (4 and 5).

नोट

• दो संख्याएँ सह-अभाज्य हो सकती हैं, भले ही उनमें से कोई भी व्यक्तिगत रूप से अभाज्य न हो। जैसे की, 4 और 9.

• 1 अन्य सभी प्राकृत संख्याओं के लिए अपेक्षाकृत अभाज्य (relatively prime) है।

सह-अभाज्य संख्याओं के गुण (Properties of Co-primes)

गुण 1: क्रमित संख्याएं (Consecutive numbers)

• दो क्रमागत विषम संख्याएँ सदैव सह-अभाज्य संख्याएँ होती हैं।
  जैसे की, (9 और 11), (15 और 17) आदि।

• तीन क्रमागत विषम संख्याएँ सदैव सह-अभाज्य संख्याएँ होती हैं।
  जैसे की, (3, 5 और 7), (21, 23 और 25)

गुण 2: कारकों के रूप में (As factors)

कैसे पता करें कि कोई संख्या A, किसी अन्य संख्या B से विभाज्य है या नहीं?

हमें दो सह-अभाज्य संख्याएँ, x और y इस प्रकार ज्ञात करनी हैं कि B = x × y

यदि A, x और y दोनों से विभाज्य है, तो वह B से विभाज्य है।

उदाहरण: क्या 120, 24 से विभाज्य है?
अब, 24 = 8 × 3 (8 और 3 सह-अभाज्य हैं)
जैसे 120, 8 और 3 दोनों से विभाज्य है, इसलिए इसे 24 से भी विभाज्य होना चाहिए।

दूसरे शब्दों में, यदि कोई संख्या दो सह-अभाज्य संख्याओं से विभाज्य है, तो वह संख्या उनके गुणनफल से भी विभाज्य होती है।

हम इस नियम को 2 से अधिक सह-अभाज्य संख्याओं तक भी बढ़ा सकते हैं।

इसलिए, यदि कोई संख्या दो से अधिक सह-अभाज्य संख्याओं से विभाज्य है, तो वह संख्या उनके गुणनफल से भी विभाज्य होती है।

उदाहरण: क्या 960, 60 से विभाज्य है?
अब, 60 = 5 × 4 × 3 (5, 4 और 3 सह-अभाज्य हैं)
चूंकि 960, 5, 4 और 3 से विभाज्य है, इसलिए इसे 60 से भी विभाज्य होना चाहिए।

गुण 3: Euler's function

Euler's function, ϕ(N) = N के सभी सह-अभाज्य संख्याओं की संख्या, जो N से कम हैं।
अगर N = \(a^p b^q c^r\) .....
ϕ(N) = N [1 − \(\frac{1}{a}\)] [1 − \(\frac{1}{b}\)] [1 − \(\frac{1}{c}\)] .....

प्र. 36 तक सह-अभाज्य संख्या ज्ञात कीजिए, जो 36 से कम हैं। या
यदि p, 36 से अपेक्षाकृत अभाज्य है और p < 36, तो p के लिए संभावित मानों की संख्या ज्ञात कीजिए?

व्याख्या:

गुण 4

N के सभी सह-अभाज्यों का योग जो N से कम हैं = \(\frac{N^2}{2}\) [1 − \(\frac{1}{a}\)] [1 − \(\frac{1}{b}\)] [1 − \(\frac{1}{c}\)] ..... = (\(\frac{N}{2}\)) ϕ(N)

प्र. 18 तक सभी सह-अभाज्यों का योग ज्ञात कीजिए, जो 18 से कम हैं।

व्याख्या: