क्रमागत संख्याएं क्या होती हैं? (What are Consecutive Numbers?)
Overview
इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - What are Consecutive Numbers?, in Hindi
नोटइस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:
क्रमागत संख्याएं (Consecutive Numbers) - वे संख्याओं की एक श्रृंखला है, जिसमें प्रत्येक संख्या पूर्ववर्ती संख्या से 1 अधिक होती है। इन्हें क्रमानुगत संख्याएं या अभिसरण संख्याएं भी कहा जाता है|
जैसे की, 8, 9, 10, 11,...
नोटहम यह भी कह सकते हैं कि, वे मूल रूप से एक समान्तर श्रेणी (Arithmetic Progression, A.P.) हैं, जिसमें 1 का सामान्य अंतर है।
क्रमागत संख्याओं के गुण (Properties of Consecutive Numbers)
गुण 1: क्रमागत संख्याओं की संख्या (Number of Consecutive numbers)
यदि {a, a + 1, a + 2, ..., b} क्रमागत पूर्णांकों (consecutive integers) का समुच्चय है, तो
समुच्चय में तत्वों की संख्या = b - a + 1
प्रश्न. 12 से 96 तक की क्रमागत प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में तत्वों की संख्या ज्ञात कीजिए।
व्याख्या:
तत्वों की संख्या = b – a + 1 = 96 – 12 + 1 = 85
गुण 2
यदि क्रमागत पूर्णांकों के समुच्चय में मदों की संख्या विषम है, तो:
सभी पूर्णांकों का योग हमेशा समुच्चय में मौजूद कुल मदों से विभाज्य होता है
उदाहरण: तीन क्रमागत संख्याओं के समुच्चय में: 7, 8, 9.
योग = 7 + 8 + 9 = 24 (यह 3 से विभाज्य है)
उदाहरण: पांच क्रमागत संख्याओं के सेट में: 9, 10, 11, 12, 13.
योग = 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 55 (यह 5 से विभाज्य है)
गुण 3
यदि क्रमागत पूर्णांकों के समुच्चय में मदों की संख्या सम है, तो:
सभी पूर्णांकों का योग कभी भी समुच्चय में उपस्थित कुल मदों से विभाज्य नहीं होता है
उदाहरण: चार क्रमागत संख्याओं के सेट में: 7, 8, 9, 10.
योग = 7 + 8 + 9 + 10 = 34 (यह 4 से विभाज्य नहीं है)
उदाहरण: छह क्रमागत संख्याओं के सेट में: 9, 10, 11, 12, 13, 14.
योग = 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 69 (यह 6 से विभाज्य नहीं है)
गुण 4
किन्हीं दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा सम होता है (अर्थात 2 से विभाज्य)।
ऐसा इसलिए है क्योंकि उनमें से एक सम (और दूसरा विषम) होना चाहिए, जैसे की, (3, 4), (12, 13)
दो क्रमागत पूर्णांकों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
n और n - 1 या
n और n + 1
इसलिए, n(n-1) या n(n + 1) के रूप वाली कोई भी संख्या हमेशा सम होगी।
गुण 5
किन्हीं तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा 6 से विभाज्य होता है।
ऐसा इसलिए है क्योंकि उनमें से एक सम होना चाहिए, और उनमें से एक को 3 से विभाज्य होना चाहिए, जैसे की, (3, 4, 5), (12, 13, 14)
तीन क्रमागत पूर्णांकों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: n-1, n और n + 1
इसलिए, (n - 1)n(n + 1) या n(\(n^2\) - 1) या (\(n^3\) - n) के रूप की कोई भी संख्या, हमेशा 6 से विभाज्य होगी।
गुण 6
किसी भी n क्रमागत पूर्णांकों में से, ठीक एक संख्या n से विभाज्य होगी।
उदाहरण:
लगातार चार पूर्णांक: 14, 15, 16, 17
केवल 16, 4 से विभाज्य है।
गुण 7
n क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल n! से विभाज्य होगा!
उदाहरण:
लगातार चार पूर्णांक: 14, 15, 16, 17
(14 × 15 × 16 × 17), 4! से विभाज्य है|