क्षेत्रमिति - घन और घनाभ (Mensuration - Cubes and Cuboids)

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क्षेत्रमिति - घन और घनाभ (Mensuration - Cubes and Cuboids)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Cubes and Cuboids, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

इस लेख में, हम क्षेत्रमिति के एक महत्वपूर्ण विषय, घन और घनाभ से संबंधित अवधारणाओं और सूत्रों के बारे में जानने जा रहे हैं।

घन एक त्रिविमीय ठोस संरचना है, जो किनारों के साथ जुड़े हुए छह समान वर्गाकार (square) फलकों से बनती है।
Mensuration

Mensuration

एक घन में निम्नलिखित होते हैं:

  • समान आकार और समान क्षेत्रफल के 6 वर्गाकार फलक (faces)
  • समान लंबाई के 12 किनारे (edges)
  • 8 कोने (vertices)

घनाभ (Cuboid) के मामले में, कम से कम कुछ किनारों की लंबाई अलग-अलग होती है। और इसलिए, इसके फलकों का क्षेत्र भिन्न हो सकता है। तो, हम इसे इस प्रकार परिभाषित करते हैं।

घनाभ एक त्रिविमीय ठोस संरचना होती है जो किनारों के साथ जुड़े हुए छह आयताकार (rectangular) फलकों से बनी होती है।
Mensuration

Mensuration

आइए, घनों और घनाभों से संबंधित इन शब्दों को समझते हैं।

किसी घन का फलक (Face or Facet) उसकी बाहरी सपाट सतह होती है।

एक घन के 6 फलक होते हैं जो सभी वर्ग होते हैं, अर्थात उनमें से प्रत्येक की चार बराबर भुजाएँ होती हैं। दूसरी ओर, घनाभ के फलक वर्ग या आयत हो सकते हैं।

वह रेखा खंड जहाँ दो फलक मिलते हैं किनारे (Edge) कहलाते हैं। एक घन/घनाभ में 12 किनारे होते हैं।

जिस बिंदु पर तीन किनारे मिलते हैं उसे शीर्ष/कोने (Vertex) कहा जाता है। एक घन/घनाभ में 8 शीर्ष होते हैं।
cubes

cubes

घन और घनाभ के मामले में हम दो प्रकार के विकर्णों को देखते हैं।

ये एक ही फलक के दो विपरीत कोनों को जोड़ने वाले रेखाखंड हैं।

एक घन/घनाभ के 6 फलक होते हैं और प्रत्येक फलक पर दो फलक विकर्ण होते हैं। तो, एक घन/घनाभ में 12 फलक विकर्ण होते हैं।
Mensuration

Mensuration

यह ऐसे दो कोनों को जोड़ने वाला एक रेखाखंड है, जो घन/घनाभ के एक ही फलक पर नहीं होते हैं।

  • यदि 'a' एक घन की भुजा है, और
  • l, b और h एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई हैं, तो:

घनों (Cubes) के मामले में:

  • घन का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई = a2×a=a3a^2 × a = a^3 cubic units

  • खोखले घन का आयतन = सामग्री का आयतन = पूरे घन का आयतन - भीतरी खाली जगह का आयतन = a3(a2x)3a^3 - (a - 2x)^3

(जहाँ x घन के प्रत्येक फलक की मोटाई है)

घनाभों (Cuboids) के मामले में:

  • घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई = lb × h = lbh cubic units

  • खोखले घनाभ का आयतन = पदार्थ का आयतन = पूरे घनाभ का आयतन - भीतरी खाली स्थान का आयतन
    = lbh - (l - 2x) (b - 2x) (h - 2x)
    (जहाँ x घनाभ के प्रत्येक फलक की मोटाई है)

घनों (Cubes) के मामले में:

घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral surface area) = आधार का परिमाप/Perimeter × ऊँचाई = 4a × a = 4 a2a^2 square units

घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total surface area) = 6 a2a^2 square units

नोट

घन का आयतन = (कुलपृष्ठीयक्षेत्रफल6)3(\sqrt{\frac{कुल \hspace{1ex} पृष्ठीय \hspace{1ex} क्षेत्रफल}{6}})^3 cubic units

घनाभों (Cuboids) के मामले में:

घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral surface area) = आधार का परिमाप/Perimeter × ऊँचाई = 2 (l + b) h square units

घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total surface area) = 2 (lb + bh + lh) square units

घनों (Cubes) के मामले में:
Mensuration

Mensuration

घन का फलक विकर्ण (Face Diagonal) = 2\sqrt{2} a units

घन का अंतरिक्ष विकर्ण (Space Diagonal) = 3\sqrt{3} a units

घनाभों (Cuboids) के मामले में:
Mensuration

Mensuration

एक घनाभ के तीन भिन्न फलक विकर्ण होते हैं, l2+b2\sqrt{l^2 + b^2}, l2+h2\sqrt{l^2 + h^2} and b2+h2\sqrt{b^2 + h^2} units

घनाभ का अंतरिक्ष विकर्ण (Space Diagonal) = l2+b2+h2\sqrt{l^2 + b^2 + h^2} units

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