क्षेत्रमिति - घन और घनाभ (Mensuration - Cubes and Cuboids)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Cubes and Cuboids, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• क्षेत्रमिति क्या होती है?
• क्षेत्रमिति - घन और घनाभ
• क्षेत्रमिति - गोला
• क्षेत्रमिति - बेलन
• क्षेत्रमिति - शंकु
• क्षेत्रमिति - प्रिज्म
• क्षेत्रमिति - पिरामिड

इस लेख में, हम क्षेत्रमिति के एक महत्वपूर्ण विषय, घन और घनाभ से संबंधित अवधारणाओं और सूत्रों के बारे में जानने जा रहे हैं।

घन क्या होता है? (What is a Cube?)

घन एक त्रिविमीय ठोस संरचना है, जो किनारों के साथ जुड़े हुए छह समान वर्गाकार (square) फलकों से बनती है।

एक घन में निम्नलिखित होते हैं:

• समान आकार और समान क्षेत्रफल के 6 वर्गाकार फलक (faces)
• समान लंबाई के 12 किनारे (edges)
• 8 कोने (vertices)

घनाभ (Cuboid) के मामले में, कम से कम कुछ किनारों की लंबाई अलग-अलग होती है। और इसलिए, इसके फलकों का क्षेत्र भिन्न हो सकता है। तो, हम इसे इस प्रकार परिभाषित करते हैं।

घनाभ एक त्रिविमीय ठोस संरचना होती है जो किनारों के साथ जुड़े हुए छह आयताकार (rectangular) फलकों से बनी होती है।

आइए, घनों और घनाभों से संबंधित इन शब्दों को समझते हैं।

घन और घनाभ से संबंधित बुनियादी शब्दावली (Basic Terms related to Cubes and Cuboids)

फलक, किनारा और शीर्ष (Face, Edge and Vertex)

किसी घन का फलक (Face or Facet) उसकी बाहरी सपाट सतह होती है।

एक घन के 6 फलक होते हैं जो सभी वर्ग होते हैं, अर्थात उनमें से प्रत्येक की चार बराबर भुजाएँ होती हैं। दूसरी ओर, घनाभ के फलक वर्ग या आयत हो सकते हैं।

वह रेखा खंड जहाँ दो फलक मिलते हैं किनारे (Edge) कहलाते हैं। एक घन/घनाभ में 12 किनारे होते हैं।

जिस बिंदु पर तीन किनारे मिलते हैं उसे शीर्ष/कोने (Vertex) कहा जाता है। एक घन/घनाभ में 8 शीर्ष होते हैं।

विकर्ण (Diagonal)

घन और घनाभ के मामले में हम दो प्रकार के विकर्णों को देखते हैं।

फलक विकर्ण (Face diagonals)

ये एक ही फलक के दो विपरीत कोनों को जोड़ने वाले रेखाखंड हैं।

एक घन/घनाभ के 6 फलक होते हैं और प्रत्येक फलक पर दो फलक विकर्ण होते हैं। तो, एक घन/घनाभ में 12 फलक विकर्ण होते हैं।

अंतरिक्ष विकर्ण या पिण्ड विकर्ण (Space Diagonal or Body Diagonal)

यह ऐसे दो कोनों को जोड़ने वाला एक रेखाखंड है, जो घन/घनाभ के एक ही फलक पर नहीं होते हैं।

घन और घनाभ से संबंधित सूत्र (Formulae related to Cubes and Cuboids)

• यदि 'a' एक घन की भुजा है, और
• l, b और h एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई हैं, तो:

सूत्र 1: आयतन (Volume)

घनों (Cubes) के मामले में:

• घन का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई = \(a^2 × a = a^3\) cubic units

• खोखले घन का आयतन = सामग्री का आयतन = पूरे घन का आयतन - भीतरी खाली जगह का आयतन = \(a^3 - (a - 2x)^3\)

(जहाँ x घन के प्रत्येक फलक की मोटाई है)

घनाभों (Cuboids) के मामले में:

• घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई = lb × h = lbh cubic units

• खोखले घनाभ का आयतन = पदार्थ का आयतन = पूरे घनाभ का आयतन - भीतरी खाली स्थान का आयतन
  = lbh - (l - 2x) (b - 2x) (h - 2x)
  (जहाँ x घनाभ के प्रत्येक फलक की मोटाई है)

सूत्र 2: पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area)

घनों (Cubes) के मामले में:

घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral surface area) = आधार का परिमाप/Perimeter × ऊँचाई = 4a × a = 4 \(a^2\) square units

घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total surface area) = 6 \(a^2\) square units

नोट

घन का आयतन = \((\sqrt{\frac{कुल \hspace{1ex} पृष्ठीय \hspace{1ex} क्षेत्रफल}{6}})^3\) cubic units

घनाभों (Cuboids) के मामले में:

घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral surface area) = आधार का परिमाप/Perimeter × ऊँचाई = 2 (l + b) h square units

घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total surface area) = 2 (lb + bh + lh) square units

सूत्र 3: विकर्ण (Diagonal)

घनों (Cubes) के मामले में:

घन का फलक विकर्ण (Face Diagonal) = \(\sqrt{2}\) a units

घन का अंतरिक्ष विकर्ण (Space Diagonal) = \(\sqrt{3}\) a units

घनाभों (Cuboids) के मामले में:

एक घनाभ के तीन भिन्न फलक विकर्ण होते हैं, \(\sqrt{l^2 + b^2}\), \(\sqrt{l^2 + h^2}\) and \(\sqrt{b^2 + h^2}\) units

घनाभ का अंतरिक्ष विकर्ण (Space Diagonal) = \(\sqrt{l^2 + b^2 + h^2}\) units