घातांक क्या होते हैं? (What are Indices?)

Overview

इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - What are Indices?, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

• तेज गुणा करने के तरीके
• वर्ग और घन ढूँढना
• वर्गमूल और घनमूल कैसे ज्ञात करें
• सरलीकरण सम्बंधित अवधारणाएं, तरीके और तरकीबें
• घातांक क्या होते हैं?
• करणी क्या होते हैं?
• लघुगणक क्या होते है?

यदि हम किसी संख्या 'a' को स्वयं से n बार गुणा करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:
a × a × a ...n बार = $a^n$

उदाहरण के लिए, 4 × 4 × 4 = $4^3$

a और n का मान धनात्मक, ऋणात्मक, शून्य या भिन्न हो सकते हैं।

घातांक के नियम (Rules of Indices)

Indices के नियम वो बुनियादी नियम/सूत्र हैं, जिनका उपयोग हम घातांकों (powers/indices) वाली संख्याओं से निपटने के लिए करते हैं।

एक छात्र से अपेक्षा की जाती है कि वह निम्नलिखित नियमों को ठीक उतनी ही अच्छी तरह से जाने, जैसे वह जोड़, गुणा, BODMAS नियमों को जानता है। बुनियादी गणना करने के लिए, यह सब आवश्यक माना जाता है।

नियमों का पहला सेट (First set of Rules)

$a^0$ = 1 (जहां a ≠ 0)
उदाहरण के लिए:
$3^0$ = 1

$a^1$ = a
उदाहरण के लिए:
$3^1$ = 3

नकारात्मक घातांक (Negative Indices)

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

भिन्नात्मक घातांक (Fractional Indices)

$a^\frac{p}{q} = \sqrt[q]{a^p}$

$\sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n}$

नियमों का दूसरा सेट (Second set of Rules)

आइए, सबसे पहले उन मामलों को देखें जिनमें आधार (base) समान है (घातांक समान हो सकते हैं, या नहीं भी)।

घातांकों का जोड़ (Addition of Indices)

$a^n × a^m = a^{n + m}$
उदाहरण के लिए:
$2^3 × 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7$

नोट

$\sqrt{a} × \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} × a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = a^1$ = a

घातांकों का घटाव (Subtraction of Indices)

$a^n ÷ a^m = a^{n - m}$
उदाहरण के लिए:
$2^4 ÷ 2^3 = 2^{4 - 3} = 2^1$ = 2

घातांकों का गुणन (Multiplication of Indices)

$(a^n)^m = a^{nm}$
उदाहरण के लिए:
$(2^3)^5 = 2^{3 × 5} = 2^{15}$

नियमों का तीसरा सेट (Third set of Rules)

आइए उन मामलों को देखें जिनमें आधार (bases) भिन्न हैं, लेकिन घातांक (indices) समान हैं।

नियम 1

$(ab)^n = a^n × b^n$
उदाहरण के लिए:
$(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^4$

नोट

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} × \sqrt{b}$

$\sqrt[p]{ab} = \sqrt[p]{a} × \sqrt[p]{b}$

नियम 2

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
उदाहरण के लिए:
$(\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4}$

नोट

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

$\sqrt[p]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[p]{a}}{\sqrt[p]{b}}$

नियमों का चौथा सेट (Fourth set of Rules)

नियम 1

यदि दो संख्याएँ समान हैं, और उनका आधार (bases) भी समान हैं, तो उनकी घातें (powers) भी समान होंगी। (दिया गया है कि आधार 0 या ±1 नहीं है)
इसलिए, यदि $a^n = a^m$ (जहाँ a ≠ 0 तथा a ≠ ±1), तो n = m

उदाहरण के लिए, यदि $3^n = 3^5$, तो n = 5

नियम 2

यदि दो संख्याएँ समान हैं, और उनकी घातें (powers) भी समान हैं, तो दो स्थितियाँ उत्पन्न हो सकती हैं (यह देखते हुए कि घात 0 नहीं है):

• केस I: यदि घात विषम संख्या है, तो आधार (bases) भी बराबर होंगे।
  

इसलिए, यदि $a^n = b^n$ (जहाँ n ≠ 0), तो a = b

उदाहरण के लिए, यदि $a^7 = 3^7$, तो a = 3

• केस II: यदि घात एक सम संख्या है, तो आधार (bases) संख्यात्मक रूप से भी बराबर होंगे, लेकिन उनके चिह्न भिन्न हो सकते हैं।
  

इसलिए, यदि $a^n = b^n$ (जहाँ n ≠ 0), तो a = ±b

उदाहरण के लिए, यदि $a^6 = 3^6$, तो a = ±3

नोट

यदि घात 0 है, तो हम आधारों (bases) a और b के बीच संबंध निर्धारित नहीं कर सकते। ऐसा इसलिए है, क्योंकि किसी भी आधार पर 0 की घात लगाने पर हमें 1 ही मिलता है।
उदाहरण के लिए, $3^0$ = 1; $4^0$ = 1 आदि।

जटिल दिखने वाले घातांक (Complex looking Indices)

तो, अब आप जानते हैं कि घातांक क्या हैं, और वो बुनियादी नियम क्या हैं जिनका उपयोग हम घातांक वाले व्यंजकों को सरल बनाने के लिए करते हैं। परन्तु, ऐसे कई व्यंजक हैं जो वास्तव में अजीब होते हैं, और जटिल लगते हैं। आइए, ऐसे ही कुछ व्यंजकों पर एक नज़र डालें, और देखें की उनसे कैसे निपटना होता है।

घातांकों की कई परतें (Nested Indices)

कभी-कभी, हम घातांकों की कई परतों का सामना करेंगे। उदाहरण के लिए, $(a^n)^m$

ऐसे मामलों में, हम पहले कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को हल करते हैं। फिर हम परिणामी को उस घात तक बढ़ा देते हैं जो कोष्ठक के बाहर है। यानी हम अंदर से बाहर की ओर बढ़ते हैं।
उदाहरण के लिए, $(2^4)^3 = 16^3$ = 4,096

नोट

ध्यान दें, $(a^n)^m = a^{nm} \hspace{1ex}$ (यह $a^{n^m}$ के बराबर नहीं है)
तो, हम उपरोक्त को इस प्रकार हल कर सकते थे:
$(2^4)^3 = 2^{4 × 3} = 2^{12}$ = 4,096

घातांकों वाले घातांक (Indices having Indices)

कभी-कभी, हम ऐसे व्यंजकों का सामना करेंगे जिनमें घात सरल संख्या नहीं होते हैं। बल्कि घातांक स्वयं घातांक होते हैं। उदाहरण के लिए, $a^{n^m}$. यहाँ घातांक $n^m$ है।

ऐसे मामलों में, हम पहले सबसे ऊपर वाले व्यंजक को हल करते हैं। यानी हम ऊपर से नीचे की ओर बढ़ते हैं।
उदाहरण के लिए, $2^{3^2} = 2^9$ = 512

घातांक आधारित प्रश्नों के प्रकार (Types of questions on Indices)

घातांक के अध्याय में आपको निम्नलिखित प्रकार के प्रश्न मिलेंगे:

• सरलीकरण करना (Simplification)
• अज्ञात चर के लिए समाधान करना (Solving for an unknown variable)
• संख्याओं की तुलना करना (Comparison of numbers)

आइए, कुछ उदाहरण देखें।

प्रकार 1: सरलीकरण (Simplification)

आपको विभिन्न आधारों और घातांकों वाले जटिल व्यंजक प्रदान किये जाएंगे। आपको ऊपर बताए गए नियमों का उपयोग करके उन्हें सरल करना होगा।

प्र. निम्नलिखित व्यंजक को सरल कीजिए और उसका मान ज्ञात कीजिए:

$(0.04)^{-1.5}$

व्याख्या:

प्रकार 2: अज्ञात चर के लिए समाधान करना (Solving for an unknown variable)

आपको कोई समीकरण प्रदान किया जायेगा। अज्ञात आधार या घात ज्ञात करने के लिए आपको उस समीकरण को हल करना होगा।

प्र. यदि $1024^{x - 3} = 16^x$, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

व्याख्या:

प्रकार 3: संख्याओं की तुलना करना (Comparison of numbers)

इस प्रकार के प्रश्नों में, आपको घातों वाले कुछ व्यंजक प्रदान किए जाएंगे। आपको इन व्यंजकों के मूल्यों की तुलना करने के लिए कहा जाएगा और फिर:

• सबसे छोटा या सबसे बड़ा व्यंजक खोजने के लिए, या
• व्यंजकों को उनके मूल्यों के आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने के लिए।

प्रश्न. निम्नलिखित संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

$125^8$, $25^{12}$, $625^5$

व्याख्या: