औसत क्या होता है? (What is Average?)

Dec 17, 2021 average-and-mixtures

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Overview

इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - What is Average?, in Hindi

एक ही प्रकार की n राशियों का औसत, उन सभी राशियों के योग को उन राशियों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

औसत कैसे ज्ञात करें? (How to find Average?)

फॉर्मूला विधि (Formula Method)

औसत = $\frac{राशियों \hspace{1ex} का \hspace{1ex} योग}{राशियों \hspace{1ex} की \hspace{1ex} संख्या \hspace{1ex} (n)}$

डिविएशन्स की विधि (Method of deviations)

सूत्र का उपयोग करने के बजाय, हम अपनी गणना को आसान बनाने के लिए डिविएशन्स की विधि का उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, हमें इन n मात्राओं का औसत ज्ञात करना है - $x_1, x_2, ..... x_n$

इस विधि में:

हम किसी भी संख्या (A) को औसत मान लेते हैं।
उसके बाद हम बीजगणितीय रूप से A की तुलना में सभी मात्राओं के विचलन/डिविएशन/अंतर को जोड़ते हैं, अर्थात ( $x_1 - A) ± (x_2 - A) ± ..... ± (x_n$ - A)।
इसके बाद हम इन अंतरों का औसत लेते हैं। अर्थात्, $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i − 𝐴)$
फिर हम अपना उत्तर प्राप्त करने के लिए बीजगणितीय रूप से इस औसत को A में जोड़ते हैं।

तो, इन n वस्तुओं का औसत = A ± $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i − 𝐴)$

चेतावनी

बीजगणितीय रूप से जोड़ने का अर्थ है कि हम संकेतों को भी ध्यान में रखते हैं। अर्थार्थ, कोई संख्या घनात्मक है या नकारात्मक|

आइए एक उदाहरण पर विचार करें:

एक छात्र ने पांच विषयों में निम्नलिखित अंक प्राप्त किए: 38, 58, 44, 54 और 61

अब, मान लीजिए कि कोई संख्या (A) इन अंकों का औसत है, जैसे की 50

50 से अंकों का विचलन हैं: -12, +8, -6, +4 और +11
इन विचलनों का बीजगणितीय योग +5 है।
अत: विद्यार्थी के अंकों का औसत = 50 + 5/5 = 51

यदि हम A = 55 लेते हैं।

55 से अंकों के विचलन हैं: -17, +3, -11, -1 और +6
इन विचलनों का बीजगणितीय योग -20 है।
अत: विद्यार्थी के अंकों का औसत = 55 - 20/5 = 55 - 4 = 51

नोट

यह विधि गणना को किस हद तक सरल करेगी, यह माने गएऔसत A के चयन पर निर्भर करेगा। इसे इस तरह से चुना जाना चाहिए, कि घनात्मक और नकारात्मक विचलन एक दूसरे को जितना संभव हो सके रद्द कर दें। तब विभाजन के लिए बचा हुआ अंतिम आंकड़ा अपेक्षाकृत छोटा होगा।

प्र. यदि एक क्रिकेटर ने अपनी छह पारियों में 98, 82, 66, 76, 80 और 90 रन बनाए हैं, तो उसका औसत स्कोर क्या है?

व्याख्या :

व्याख्या 1: फॉर्मूला विधि

औसत = $\frac{राशियों \hspace{1ex} का \hspace{1ex} योग}{राशियों \hspace{1ex} की \hspace{1ex} संख्या \hspace{1ex} (n)}$ = (98 + 82 + 66 + 76 + 80 + 90)/6 = 492/6 = 82 runs

औसत के गुण (Properties of Averages)

योग (Addition)

यदि सभी संख्याओं में a की वृद्धि की जाती है, तो उनके औसत में भी a से वृद्धि हो जाएगी।
जैसे की, यदि लोगों के समूह की औसत आयु x वर्ष है, तो n वर्ष के बाद उनकी औसत आयु (x + n) होगी। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक गुजरते वर्ष के साथ, प्रत्येक व्यक्ति की आयु में 1 की वृद्धि होती है।

घटाव (Subtraction)

यदि सभी संख्याएँ a से कम की जाती हैं, तो उनका औसत भी a से कम हो जायेगा।
जैसे की, यदि लोगों के समूह की औसत आयु x वर्ष है, तो n वर्ष पूर्व उनकी औसत आयु (x - n) रही होगी।

गुणा/भाग (Multiplication/Division)

यदि सभी संख्याओं को a से गुणा किया जाता है, तो उनका औसत भी a से गुणा हो जायेगा।
यदि सभी संख्याओं को a से विभाजित किया जाता है, तो उनका औसत भी a से विभाजित हो जायेगा। (a ≠ 0)

किसी संख्या के गुणज (Multiples of a number)

किसी भी संख्या के n गुणकों का औसत = $\frac{संख्या × (n+1)}{2}$

समूह परिवर्तन का औसत पर प्रभाव (Impact of Group change on Average)

किसी व्यक्ति के समूह छोड़ने या उसमें शामिल होने पर औसत बढ़ / घट सकता है। इस खंड में हम इसी पर ध्यान केंद्रित करने जा रहे हैं।

यहाँ तीन संभावित मामले हमारे सामने पेश हो सकते हैं।

एक नया आइटम जोड़ना (Addition of a new item)

n मात्राओं का औसत X के बराबर है और समूह में एक नई इकाई/मात्रा जोड़ने पर औसत Y हो जाता है (अर्थात समूह में चीज़ों की संख्या 1 से बढ़ जाती है), फिर:

नई इकाई का मान = Y + (Y - X)n या X + (Y - X) (n + 1)

प्र. 8 लड़कों के समूह की औसत आयु 12 वर्ष है। इसके बाद एक नया लड़का समूह में शामिल हो जाता है और उनकी औसत आयु बढ़कर 13 वर्ष हो जाती है। नए लड़के की उम्र क्या है?

व्याख्या :

व्याख्या 1: पारंपरिक विधि

औसत = आयु का योग / लड़कों की संख्या

या आयु का योग = औसत × लड़कों की संख्या = 12 × 8 = 96 वर्ष

आयु का नया योग = नया औसत × लड़कों की नई संख्या = 13 × 9 = 117

अत: नए लड़के की आयु = 117 - 96 = 21 वर्ष

किसी मौजूदा आइटम को हटाना (Removal of an existing item)

n मात्राओं का औसत X के बराबर है, और समूह से एक इकाई/मात्रा को हटाने पर औसत Y हो जाता है (अर्थात समूह में चीज़ों की संख्या 1 से घट जाती है), फिर:

हटाए गयी इकाई का मान = Y + (X - Y)n या X + (X - Y) (n - 1)

मौजूदा आइटम को नए से बदलना (Replacement of an existing item with a new one)

n मात्राओं का औसत X के बराबर है। जब मान P की एक मात्रा को Q मान वाली एक नई मात्रा से प्रतिस्थापित (replaced) किया जाता है, तो मात्राओं का औसत Y हो जाता है (अर्थात समूह में चीज़ों की संख्या समान रहती है), फिर

नई इकाई का मान, Q = P + (Y - X)n

प्र. 13 लड़कियों और 9 लड़कों वाले एक समूह के पास रु. 750 औसत राशि है| जब लड़कों में से एक को, जिसके पास रु. 540 हैं, किसी लड़की के साथ प्रतिस्थापित कर दिया जाता है, तो समूह के पास औसत राशि बढ़कर रु. 790 हो गयी| नई लड़की और बदले गए लड़के के पास रखी राशि में कितना अंतर है?

(a) रुपये 800   (b) रुपये 880    (c) रुपये 1,120   (d) रुपये 1,200

व्याख्या :

व्याख्या 1: पारंपरिक विधि

समूह में लोगों की संख्या = 13 लड़कियां + 9 लड़के = 22

औसत राशि = रु. 750
कुल राशि = औसत राशि × लोगों की संख्या = रु. 750 × 22

प्रतिस्थापन के बाद, औसत राशि बढ़कर रु. 790 हो गयी
अत: दूसरे मामले में कुल राशि = रु. 790 × 22

नई लड़की और बदले जाने वाले लड़के द्वारा धारित राशि में अंतर = दूसरे मामले में कुल राशि - पहले मामले में कुल राशि = 790 × 22 - 750 × 22 = (790 - 750) × 22 = 40 × 22 = रु. 880

नोट

क्यूंकि लड़के को लड़की से बदलने के बाद समूह का औसत बढ़ गया, इसलिए लड़की के पास लड़के से रु. 880 अधिक होने चाहियें, अर्थात 540 + 880 = रु. 1,420

उत्तर: (b)