क्रमगुणित की अवधारणा (Concept of Factorial)
Overview
इस लेख में हम क्वांटिटेटिव एप्टीटुड (गणित) के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Concept of Factorial, in Hindi
नोटइस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:
इस लेख में, हम आपका क्रमगुणित (Factorial) की अवधारणा से परिचय कराएंगे।
क्रमगुणित क्या होता है? (What is a Factorial?)
यह 1 से शुरू होने वाली कुछ प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल है।
किसी क्रमगुणित को निरूपित करने के लिए, हम प्रतीक '!' (विस्मयादिबोधक चिह्न) का उपयोग करते हैं|
n! = 1 × 2 × 3 ×....× (n−2) × (n−1) × n
जैसे की, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120
नोट0! = 1 और 1! = 1
N! में किसी अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात (Largest power of a prime in N!)
N! में अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात खोजने के लिए, हम दो तरीकों का उपयोग कर सकते हैं!
गुणनखंडन विधि (Factorization method)
विस्तृत विभाजन विधि (Long division method)
गुणनखंडन विधि (Factorization method)
हम एक क्रमगुणित (factorial) का विस्तार कर सकते हैं, और उसमें किसी अभाज्य संख्या (prime number) की उच्चतम घात ज्ञात कर सकते हैं।
उदाहरण: 6! में 2 की सबसे बड़ी घात ज्ञात कीजिए?
6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = \(2^4 × 3^2\) × 5
अतः 6! में 2 की सबसे बड़ी घात 4 है।
नोटयह विधि छोटे क्रमगुणित (factorial) के लिए ठीक काम करती है। बड़े क्रमगुणितों (factorials) के लिए, इस पद्धति को लागू करना आसान नहीं है। इसलिए हम एक वैकल्पिक विधि का उपयोग करते हैं - विस्तृत विभाजन विधि (Long division method)
विस्तृत विभाजन विधि (Long division method)
यहां हम निर्दिष्ट अभाज्य गुणनखंड का उपयोग करके संख्या का विस्तृत विभाजन (Long division) करते हैं। अर्थात्, हम दी गई संख्या को दी गई अभाज्य संख्या से विभाजित करेंगे, और सभी चरणों में प्राप्त हुए सभी भागफलों (quotients) को जोड़ेंगे।
आइए एक उदाहरण का उपयोग करके समझते हैं।
24 में 3 की सबसे बड़ी घात ज्ञात कीजिए!
- चरण 1: भागफल (24/3) = 8
- चरण 2: भागफल (8/3) = 2
24! में 3 की सबसे बड़ी घात = सभी चरणों में प्राप्त हुए सभी भागफलों का योग = 8 + 2 = 10
आइए इसे दोबारा जांचें।
24! में 3 की घातें, 24! के इन गुणनखंडों में पायी जा सकती हैं
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 (9 और 18, प्रत्येक में 3 की 2 घातें हैं)
N! में किसी समग्र संख्या की सबसे बड़ी घात (Largest power of a composite number in N!)
N! में किसी समग्र संख्या की सबसे बड़ी घात को खोजने के लिए, हमें इसका अभाज्य गुणनखंडों (prime factors) में गुणनखंडन (factorize) करना होगा| और फिर उस अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का पता लगाना होगा जो सबसे कम आपूर्ति में हो (आमतौर पर सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड सबसे कम आपूर्ति में होता है)।
आइए, इसे एक उदाहरण से समझते हैं।
24! में 6 की सबसे बड़ी घात ज्ञात कीजिए
6 = 3 × 2;
24! में 2 की सबसे बड़ी घात = 12 + 6 + 3 + 1 = 22
24! में 3 की सबसे बड़ी घात = 8 + 2 = 10
जैसा कि हमें पता है, 6 बनाने के लिए हमें 3 और 2 दोनों की आवश्यकता होती है| यहाँ 3 की घात कम आपूर्ति में है, इसलिए 24! में 6 की सबसे बड़ी घात, 24! में 3 की सबसे बड़ी घात पर निर्भर करेगी|
तो 24! में 6 की सबसे बड़ी घात 10 है।
नोटआम तौर पर, सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड (prime factor) कम आपूर्ति में होता है (उदाहरण के लिए उपरोक्त उदाहरण में 3), लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है।
N! के अंत में शून्य की संख्या (Number of Zeroes at the end of N!)
N! मूल रूप से प्रथम 'n' प्राकृत संख्याओं का गुणनफल है।
अंत में एक 'शून्य' 2 और 5 के संयोजन से उत्पन्न होगा। किसी भी क्रमगुणित (factorial) में, 5 की संख्या हमेशा 2 की संख्या से कम होगी और इसलिए 5 की संख्या शून्य की संख्या निर्धारित करेगी।
26! के अंत में कितने शून्य होंगे ?
26! में 5 की सबसे बड़ी घात = 5 + 1 = 6
तो, 26! के अंत में 6 शून्य होंगे|
नोटकुछ जटिल क्रमगुणित व्यंजकों (factorial expressions) में 2 की संख्या, 5 की संख्या से कम हो सकती है। ऐसी स्थिति में 2 की संख्या अंत में आने वाले शून्यों की संख्या निर्धारित करेगी।
तो, हमें निम्नलिखित बातों का ध्यान रखना चाहिए:
किसी क्रमगुणित (factorial) में:
किसी भी क्रमगुणित (factorial) मान में, 5 की संख्या हमेशा 2 की संख्या से कम होगी। इसलिए, हमें केवल 5 की संख्या गिनने की आवश्यकता है।किसी गुणन (product) में:
गुणा की जा रही संख्याओं में, 2 या 5 में से कोई भी कम हो सकता है। इनमें से जो भी कम होगा, वह गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या निर्धारित करेगा।