समांतर चतुर्भुज और उसके गुण (Parallelogram and its properties)

Overview

इस लेख में हम गणित के एक महत्त्वपूर्ण अध्याय के बारे में जानेंगे - Parallelogram and its properties, in Hindi

नोट

इस अध्याय से सम्बंधित, अन्य विषयों के बारे में जानने के लिए आप हमारे निम्नलिखित लेख पढ़ सकते हैं:

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• ज्यामिति में रेखाएं और कोण
• ज्यामिति में त्रिभुज
• त्रिभुज से संबंधित महत्वपूर्ण रेखाएं और बिंदु
• त्रिभुज से सम्बंधित महत्वपूर्ण प्रमेय और नियम
• समरूपता प्रमेय और उनके अनुप्रयोग
• त्रिभुजों की सर्वांगसमता और समरूपता क्या होती हैं?
• त्रिभुज के क्षेत्रफल से सम्बंधित सूत्र और गुण
• चतुर्भुज और उसके गुण
• चतुर्भुज के क्षेत्रफल से सम्बंधित सूत्र और गुण
• समांतर चतुर्भुज और उसके गुण
• समलंब चतुर्भुज और उसके गुण
• बहुभुज और उसके गुण
• वृत्त और उसके गुण
• वृत्त प्रमेय

इस लेख में हम समांतर चतुर्भुज और उसके गुणों के बारे में अध्ययन करेंगे।

समांतर चतुर्भुज क्या होता है? (What is a Parallelogram?)

समांतर चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है, जिसमें समानांतर भुजाओं के दो जोड़े होते हैं।

Geometry

• एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समानांतर होती हैं और समान लंबाई की होती हैं।
• समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं। अर्थात्, ∠ A = ∠ C; ∠ B = ∠ D

आइए, अब हम कुछ सबसे प्रसिद्ध समांतर चतुर्भुजों को देखें।

समचतुर्भुज (Rhombus)

यह एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है, जिसकी चारों भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।

Geometry

इसे समबाहु चतुर्भुज (equilateral quadrilateral) भी कहा जाता है, क्योंकि इसकी चार बराबर भुजाएँ होती हैं (जैसे हम तीन बराबर भुजाओं वाले त्रिभुज को समबाहु त्रिभुज कहते हैं)।

अत: समचतुर्भुज का परिमाप = 4 × भुजा

नोट

एक वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज (Parallelogram circumscribing a circle), एक समचतुर्भुज होता है।

Geometry

आयत (Rectangle)

यह एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें समान लंबाई के दो विकर्ण होते हैं, और इसके चारों कोण भी समकोण होते हैं (बिल्कुल एक वर्ग की तरह)। हालाँकि, केवल इसकी विपरीत भुजाएँ ही समान होती हैं।

अतः इसकी आसन्न भुजाएँ एक दूसरे से 90° का कोण बनाती हैं।

Geometry

AB = DC; BC = AD
AC = BD
∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90°

आयत का परिमाप = 2 (लंबाई + चौड़ाई) = 2 (l + b)

नोट

यदि किसी आयत की चारों भुजाएँ समान हों, तो उसे वर्ग (Square) कहते हैं। अतः, वर्ग आयत का एक विशेष मामला है।

नोट

एक वृत्त में अंकित (inscribed) समांतर चतुर्भुज, आयत होता है।

Geometry

वर्ग (Square)

यह एक समांतर चतुर्भुज है, जिसकी सभी चार भुजाएं न केवल समान लंबाई की होती हैं (बिल्कुल एक समचतुर्भुज की तरह), बल्कि इसके सभी कोण भी समकोण होते हैं (बिल्कुल एक आयत की तरह)।

Geometry

अत: वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा

नोट

वर्ग (Square) - यह एक आयत है जिसकी चार भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।

यानी इसके चारों कोण 90° के होते हैं, और इसकी चारों भुजाएँ भी बराबर होती हैं।

तो, एक तरह से वर्ग आयत का एक विशेष मामला है।

वास्तव में, वर्ग एक आयत है, साथ ही एक समचतुर्भुज भी है। हालांकि, यह जरूरी नहीं कि इसका विपरीत भी सत्य हो, अर्थात किसी आयत या किसी समचतुर्भुज का वर्ग होना आवश्यक नहीं है।

समांतर चतुर्भुज के गुण (Properties of Parallelogram)

ये वे गुण हैं जो किसी भी प्रकार के समांतर चतुर्भुज के लिए सत्य हैं।

गुण 1: कोण (Angles)

समांतर चतुर्भुज में किन्हीं दो क्रमागत कोणों (consecutive angles) का योग सदैव संपूरक (supplementary) होता है।

Geometry

उपरोक्त आकृति में, ∠A + ∠B = ∠B + ∠C = ∠C + ∠D = ∠D + ∠A = 180°

नोट

समचतुर्भुज (Rhombus) के मामले में: सम्मुख कोणों का युग्म बराबर होता है।

आयत और वर्ग (Rectangle and Square) के मामले में: सभी कोण समान होते हैं, क्योंकि सभी कोण 90° हैं।

गुण 2: विकर्ण (Diagonals)

गुण 2a

एक समांतर चतुर्भुज में विकर्ण हमेशा एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

Geometry

उपरोक्त आकृति में, AO = OC; DO = OB

गुण 2b

समांतर चतुर्भुज का प्रत्येक विकर्ण उस समांतर चतुर्भुज को दो सर्वांगसम (congruent) त्रिभुजों में समद्विभाजित करता है।

Geometry

उपरोक्त आकृति में, ∆ABD ≅ ∆CDB

गुण 2c

समांतर चतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग = इसके विकर्णों के वर्गों का योग

Geometry

उपरोक्त आकृति में, $AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$

हालाँकि, एक समांतर चतुर्भुज में विपरीत भुजाएँ समान होती हैं। तो, AB = CD, और BC = DA
तो, $AC^2 + BD^2 = 2 (AB^2 + BC^2)$

नोट

समचतुर्भुज (Rhombus) के मामले में:

• विकर्ण लंबाई में बराबर नहीं होते हैं।
• विकर्ण एक दूसरे को लंबवत समद्विभाजित करते हैं।
• विकर्ण, कोण समद्विभाजक (angle bisectors) होते हैं।
  

  Geometry

विकर्णों के वर्ग का योग = भुजा के वर्ग का चार गुना, अर्थात $d_1^2 + d_2^2 = 4 a^2$

वर्ग (Square) के मामले में:

• विकर्ण लंबाई में बराबर होते हैं (समचतुर्भुज के विपरीत)।
• विकर्ण एक दूसरे को लंबवत समद्विभाजित करते हैं।
• विकर्ण, कोण समद्विभाजक (angle bisectors) होते हैं।
  

  Geometry

वर्ग का विकर्ण = $\sqrt{2}$ भुजा, अर्थात d = $\sqrt{2}$ a

आयत (Rectangle) के मामले में:

• विकर्ण लंबाई में बराबर होते हैं (वर्ग, समचतुर्भुज के विपरीत)।
• विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं (वर्ग और समचतुर्भुज की तरह), लेकिन लंबवत नहीं। (वर्ग और समचतुर्भुज के विपरीत)
• विकर्ण, कोण समद्विभाजक (angle bisectors) नहीं होते हैं। (वर्ग और समचतुर्भुज के विपरीत)
  

  Geometry

आयत का विकर्ण = $\sqrt{l^2 + b^2}$

गुण 3: समांतर चतुर्भुज के कोण समद्विभाजक (Angle bisectors of Parallelogram)

गुण 3a

एक समांतर चतुर्भुज में, किन्हीं दो क्रमागत कोणों (consecutive angles) के समद्विभाजक 90° का कोण बनाते हैं।

Geometry

उपरोक्त आकृति में, ∠AOB = 90°

गुण 3b

एक समांतर चतुर्भुज के चारों कोणों के समद्विभाजक एक आयत बनाते हैं।

Geometry

उपरोक्त आकृति में, PQRS एक आयत है।

हालाँकि, कुछ गुण ऐसे होते हैं जो केवल कुछ विशिष्ट प्रकार के समांतर चतुर्भुजों के लिए सही होते हैं। आइए इन्हें भी देखें।

गुण 4: भुजाओं के मध्य-बिंदु (Mid-points of sides)

समचतुर्भुज के मामले में (In case of Rhombus)

समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड एक आयत बनाते हैं।

Geometry

उपरोक्त आकृति में, PQRS एक आयत है।

वर्ग के मामले में (In case of Square)

एक वर्ग की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड एक वर्ग का निर्माण करते हैं।

Geometry

उपरोक्त आकृति में, PQRS एक वर्ग है।

आयत के मामले में (In case of Rectangle)

एक आयत की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड एक समचतुर्भुज (rhombus) का निर्माण करते हैं।

Geometry

उपरोक्त आकृति में, PQRS एक समचतुर्भुज है।

गुण 5: आयत के मामले में (In case of Rectangle)

यदि P किसी आयत के अंदर कोई बिंदु है, तो:

Geometry

$PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$